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Problème de Bâle et formule de Gregory-Leibniz

Modifié (16 Sep) dans Analyse
Le problème de Bâle (ville Suisse sauf erreur) est de trouver une valeur close de la série convergente, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}$. Problème résolu par Léonard Euler vers $1735$, qui donne la valeur $\dfrac{\pi^2}{6}=1,644\ldots$*
Depuis, le nombre de preuves (correctes) de ce résultat se sont multipliées mais cela continue à fasciner un certain nombre de gens (dont je suis).
Une manière de faire ce calcul est d'établir la formule :
$\displaystyle 1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\ldots=2\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots\right)^2$ 
Une revue mathématique de la MAA (Mathematical association of America), Mathematics magazine, a publié en juillet une telle démonstration.
Elle reprend une démonstration d'un Français Dominique Dumont, publiée dans la revue l'Ouvert de l'IREM.
J'en avais déjà parlé ici, et j'y avais joint une démonstration de cette égalité.

Dans l'article récent mentionné ci-dessus il y a une référence à un exercice qui apparait dans le livre des frères Borwein, Pi and the AGM :
a) Show that $\displaystyle \left(\sum_{-\infty}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\right)^2  =\sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}$
Outline. Let $\displaystyle \delta_N:=\sum_{-N}^{N} \frac{(-1)^{m+n}}{(2m+1)(2n+1)}-\sum_{-N}^{N}\frac{1}{(2k+1)^2}$
and, $\displaystyle \epsilon_N:={\sum_{m=-N}^{N}}^{\prime} \frac{(-1)^m}{m-n}$
Show that $\displaystyle \delta_n=\sum_{-N}^{N}{\sum_{-N}^{N}}^\prime \frac{(-1)^{m+n}}{(2n+1)(m-n)}$
And that $\displaystyle\left|\epsilon_N\right|\leq \frac{1}{N-n+1}$
(c'est en gros l'énoncé tel qu'il est présenté dans ce livre).
*: Ce problème aurait été posé pour la première fois en $1644$, par Pietro Mengoli. La correspondance entre les chiffres de cette année et les premières décimales de $\zeta(2)$ est étonnante.
PS.
J'ai souvenir d'avoir vu une autre preuve de cette égalité quelque part.

Réponses

  • Curieusement, @AD n'est pas passé dans le coin pour écrire son habituel "Leibniz a droit [...] orthographe [...] nom".
  • J'ai corrigé l'erreur sur l'orthographe du nom Leibniz.

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