Simulation de la loi gaussienne
Soient $X_1,Y_1,X_2,Y_2,\ldots$ des va positives indépendantes et de même loi exponentielle définie par $\Pr(X_1>x)=e^{-x}.$ Soit
$$T=\inf \{n\ \mid X_n>\frac{1}{2}(1-Y_n)^2\} .$$ Soit enfin $Z$ une va $N(0,1).$ Montrer $Y_T\sim |Z|.$
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Réponses
Cordialement.
$P(2X_n > (1-Y_n)^2) = \int_{R+} \int_{(1-y)^2/2}^{\infty} e^{-(x+y)}dx = \int_{R+} e^{-y}e^{-(1-y)^2/2} dy = \sqrt{\pi/2e} = p $
Ensuite
$P(Y_T \leq t) = \sum_{n \geq 1} P(Y_n \leq t | T = n)P(T = n) = \sum_{n \geq 1} P(Y_n \leq t | T = n)p(1-p)^{n-1} = \frac{1}{p} P(Y_1 \leq t | T = 1)$
Et
$P(Y_1 \leq t | T = 1) = \int_{0}^{t} e^{-y}e^{-(1-y)^2/2} dy = \frac{1}{\sqrt{e}} \int_0^y e^{-y^2/2}$
D'où $P(Y_T \leq t) = \int_0^y \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-y^2/2}dy$ ce qui correspond bien à la fonction de répartition d'une loi demi normale https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_demi-normale