Décomposition de l'ensemble des classes

Joaopa · September 2022

Bonsoir à tous

Soit $H$ un sous-groupe d'un groupe $G$. On considère l'action naturelle de $G$ sur $H\backslash G$. Soit $g\in G$. Écrivons la décomposition en cycles disjoints de $g$: $g=\prod_{i=1}^t c_i$, où chaque cycle $c_i$ a pour ordre $f_i$. Pour tout $i$, on considère $s_i\in G$ tel que $Hs_i$ appartient à l'orbite non triviale de $c_i$. Je ne vois pas pourquoi on a l'égalité

$$H\backslash G=\{Hs_ig^k\mid1\le i\le t,\ 0\le k<f_i\}$$

Merci d'avance.

GaBuZoMeu · September 2022

Bonjour,

Une coquille, peut-être ? (Remplacer le deuxième $t$ par l'ordre de $g$ .)

Joaopa · September 2022

Bien vu. Je modifie le premier message.

LOU16 · September 2022

Bonsoir
Je n'ai rien vu de bien mystérieux là-dedans. Je n'ai donc sûrement rien compris.

Soit $\Omega_1, \Omega_2, \dots \Omega_t$ les orbites de $H \backslash G$ sous l'action de $\langle g \rangle$. Alors d'une part , $H \backslash G= \displaystyle \bigcup_{i=1}^t \Omega_i ,$ et d'autre part, pour tout $i\in [\![1;t]\!], \:$ on peut énumérer les éléments de $\Omega_i = \{ a_0,a_1, \dots a_{f_i-1}\} $ de façon à ce que $a_0 = Hs_i, \: $ et $ \forall k \in [\![0; f_i-1]\!],\:\: a_k =a_0g^k.$
($c_i$ permute cycliquement les éléments de son support $\Omega_i$ et fixe ceux qui ne sont pas dans $\Omega_i.$)

$$ H \backslash G = \displaystyle \bigcup_{i=1}^t \Big\{Hs_ig^k \mid k \in [\![0;f_i-1 ]\!] \Big\}.$$

Joaopa · September 2022

Merci pour l'éclairage. Je m'étais méchamment embrouillé avec les notations.

Décomposition de l'ensemble des classes

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