$A,B \in M_{m,n}(K)$ avec $K=\R,\C$ on suppose $\rg(A+xB) \leq \rg(A)$ pour tout $x \in K$ Montrer qu’il existe $P \in M_m(K)$ et $Q \in M_n(K)$ telles que $B=PA +AQ$ , $PAQ=0$.
On réduit la situation au cas où $A=\begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ et dans ce cas on décompose par blocs $B=\begin{bmatrix} B_1 & B_3 \\ B_2 & B_4 \end{bmatrix}$. En utilisant la condition de rang (par transvection-blocs), on trouve l'identité $B_4=-B_2(I-x B_1)^{-1} B_3$ pour tous les $x$ pour lesquels $I-x B_1$ est inversible. Par développement en série entière, on en déduit les identités $B_4=0$ et $B_2 (B_1)^k B_3=0$ pour tout entier $k \geq 0$. A suivre...
Puisque l'exercicie reste en plan depuis le 12, je propose ma solution. J'étais parti de la même façon que dSP (tout en appelant pivot par bloc ce qu'il nomme transvection-blocs) et en évitant d'indexer les noms des blocs (sinon, je suis certain de faire des fautes de frappe, en veux-tu en voilà).
J'appelle $R,T,S$ les matrices que dSP avait appelées respectivement $B_1, B_2,B_3$, sachant que $B_4=0$ (mon habitude est de remplir les matrices ligne par ligne). Nous avons donc $TR^kS=0$ pour tout $k$ et il s'agit de construire des matrices $P_1$ et $Q_1$ telles que $R=P_1+Q_1$, $P_1Q_1=0$, $P_1S=0$, $TQ_1=0$ (ces matrices $P_1$ et $Q_1$ sont des blocs servant à construire $P$ et $Q$ : $P=\begin{pmatrix}P_1&0\\T&0\end{pmatrix}$ et $Q=\begin{pmatrix}Q_1&S\\0&0\end{pmatrix}$).
Je suppose par exemple que le corps de base est $\R$ et le munis de son produit scalaire canonique (dans $\C$, ce serait le produit hermitien, mutatis mutandis) ; ainsi, toutes les colonnes des matrices $R^kS$ sont orthogonales à toutes celles de ${}^t\!T$. J'appelle $q_0$ la projection orthogonale sur le sous-ev $E$ engendré par les colonnes des matrices $R^kS$ et $Q_0$ la matrice canonique d'icelle, puis $P_0={\rm Id}-Q_0$, $P_1=RP_0$ et $Q_1=RQ_0$.
Par exemple, $TQ_1=0$ ; en effet, si $X$ est une colonne, $Q_0X$ est dans $E$, stable par $Y\mapsto RY$, et donc $TRQ_0X=0$. Les autres propriétés attendues se démontrent de même.
[Contre-exemple dans $\Z/2\Z$ supprimé, car faux.]
dSP me communique un contre-exemple qui fonctionne dans $\Z/2\Z$ : $A={\rm Diag}(1,1,0)$ et $B={\rm Diag}(1,0,1)$ par exemple ; en fait, c'est la preuve de $B_4=0$ qui échoue dans le cas où le corps a moins de $r+1$ éléments.
Au reste, il me fait remarquer que, dans le cas général, on peut très bien se débrouiller avec des projecteurs sans avoir à les supposer orthogonaux dans le cas réel ou complexe.
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Au reste, il me fait remarquer que, dans le cas général, on peut très bien se débrouiller avec des projecteurs sans avoir à les supposer orthogonaux dans le cas réel ou complexe.