Ellipse et gudules

Bonjour 

C'est l'ellipse qui admet comme directrice, la polaire de $\Omega$  par rapport à la parabole et dont un des foyers est $\Omega,$  l'autre foyer  se détermine facilement car le centre est sur l'axe de symétrie de la parabole. 

Bonsoir

Effectivement  cela dépend de  $\Omega=(\alpha, \beta).$  Je résume les calculs comme ceci. 

Les calculs sont fait dans un repère où l'équation de la parabole est: $y=\dfrac{x^2}{2 p}$  et  $\Omega=(\alpha, \beta)$

$h(u,v,w)= (u,v,w) K_1 (u,v,w)^t=0$  est l'équation tangentielle de $\gamma$ obtenue, où 

$K_1=\left(
\begin{array}{ccc}
 -2 p \beta  & p \alpha  & 0 \\
 p \alpha  & \alpha ^2+\beta ^2 & p+\beta  \\
 0 & p+\beta  & 1 \\
\end{array}
\right)$

 $K_2=    \left(
\begin{array}{ccc}
 -p^2-2 \beta  p+\alpha ^2 & -p \alpha  & \alpha  p^2+\alpha  \beta  p \\
 -p \alpha  & -2 p \beta  & 2 \left(\beta  p^2+\beta ^2 p\right) \\
 \alpha  p^2+\alpha  \beta  p & 2 \left(\beta  p^2+\beta ^2 p\right) & -2 p \beta ^3-2 p \alpha ^2 \beta -p^2 \alpha ^2 \\
\end{array}
\right)$

L'étude la nature  $\gamma $ fait  intervenir des régions délimitées  par la parabole $\Gamma,$  la parabole $G$ d'équation  $y=\dfrac{x^2}{4 p}-\dfrac{p}{4}$ et

la directrice de $\Gamma$ notée  $\Delta$ (sauf erreur) . 

Je n'ai pas le temps de vérifier les détails mais je crois qu'on a une hyperbole lorsque $\Omega$ est entre $G$ et $\Delta.$ 

Lorsque $\Omega$ est sur la frontière...je n'ai pas le temps de vérifier mais cela ne m'étonnerai pas d'avoir une parabole (point de vue non géométrique) 

Bonjour

Pour les calculs il n'y a pas de mystère ; j'ai pris  $y=\dfrac{x^2}{2 p}=f(x) $ pour équation de $\Gamma$  et deux points  $M_i=(x_i,f(x_i))$ sur $\Gamma.$
Puisque $M_1M_2^2=M_1 \Omega^2 + \Omega M^2$  (Pythagore)  j'obtiens  l'équation de la tangente sous la forme $h(x_1,x_2)=0.$
En posant $u x +  v  y +  w=0 $ l'équation de la droite $(M_1 M_2), $  j'exprime $x_1 x_2$ et $x_1+x_2$  en fonction de $u/w$ et $v/w$
que je remplace dans l'équation $h(x_1,x_2)=0.$   
On trouve donc  l'équation tangentielle  $(u,v,w) K_1 (u,v,w)=0$  avec $K_1$ comme je l'avais donné précédemment.
Pour l' excentricité,  je trouve bien  le même, i.e $e^2=\dfrac{\alpha ^2+p^2}{p^2+2 \beta  p}  $   (bien entendu en échangeant $\alpha$ et $\beta$ puisque je n'ai pas le même repère.    )
Concernant les  frontières c'est bien  entre   la directrice est la parabole $\Gamma$ qu'on retrouve une hyperbole.

Bonjour

La parabole $G$ n'existait que par une erreur de calcul.  D'où sa disparition.

Bien sûr, puisque mes  connaissances se limitent à peu près aux théorème de Pythagore et de Thalès, je ne connais pas le théorème de Frégier.

 Lorsque $\Omega$ est sur $\Gamma,$   les tangentes considérées pas par le point fixe $(-\alpha , \dfrac{\alpha ^2}{2 p}+2 p)$

Ce point fixe est le symétrique $\Omega $ par rapport au  foyer de $\Gamma.$