Résolution d'une équation de degré 2

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Géométrie
Bonjour,
Résoudre à la règle et au compas l'équation $x^2 - ax + (a^2 - b^2)/2 = 0$ autrement que par la méthode classique du demi-cercle coupé par une parallèle au diamètre.
A+
Arcsinus arcsinum fricat.

Réponses

  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    On peut intersecter la parabole d'équation: $y=x^2$ avec la droite d'équation: $y=ax+\dfrac{b^2-a^2}2$
    Amicalement
    pappus
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE
    Il y a beaucoup plus simple.
    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE
    Une indication :smile:
    l'équation concernée intervient dans le problème de l'inscription d'un carré dans un autre.
    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Ludwig
    Ludwig
    Modifié (September 2022)
    Salut !
    Je construis le carré de côté $b$ pour avoir sa demi-diagonale $d$.
    Ensuite le carré de côté $a$, de centre $O$.
    Le cercle de centre $O$ et de rayon $d$ coupe ce carré en $C$ (voir figure), pourvu que $a \frac{\sqrt{2}}{2} \leq b \leq a$.
    $AC$ et $BC$ sont les racines recherchées.

    C'est simple mais il faut tracer les carrés, donc pas mal de cercles. 
    Amicalement, Ludwig

  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bravo, Ludwig, bien joué !
    JLB
  • Ludwig
    Ludwig
    Modifié (September 2022)
    On peut ajouter que la méthode s'étend au cas $b>a$ en prenant les intersections du cercle avec les droites supportant les côtés du carré de côté $a$. La restriction que j'ai donnée correspond aux équations dont les deux racines sont positives.
  • fm_31
    fm_31
    Modifié (September 2022)
    Autre construction sur le même principe



  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE
    Merci à Eugène Catalan, qui m'a fourni l'idée !
    Voici donc une autre façon de construire les racines...
    Quid du problème contraire : circonscrire un carré donné à un autre carré donné.
    Généralisation : inscrire (ou circonscrire) un n-gone régulier à un autre.
    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonjour Piteux_gore,
    Il me semble que les questions de ton dernier message relèvent d'une simple similitude directe ...
    Bien cordialement, JLB

  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE
    Même question avec $x^2 - ax + (a^2 - b^2)/3 = 0$.
    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE
    On remplace les carrés par des triangles équilatéraux.
    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • fm_31
    fm_31
    Un schéma 



  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE
    Avec $x^2 - ax + a^2 - b^2 = 0$ on a des hexagones réguliers.
    Les sommets du triangle circonscrit, sont les intersections du cercle de rayon $a\sqrt 3/3$ et des arcs capables de $\pi/3$ décrits sur les côtés du petit triangle.
    Les sommets de l'hexagone circonscrit, sont les intersections du cercle de rayon $a$ et des arcs capables de $2\pi/3$ décrits sur les côtés du petit hexagone, etc.
    A+

    Arcsinus arcsinum fricat.
  • fm_31
    fm_31
    J'aime bien voir sur un schéma 


  • Ludwig
    Ludwig
    Modifié (September 2022)
    Et celles-ci ?
    $x^2-ax+b^2=0$
    $x^2-ax+c(b-c)=0$.
  • fm_31
    fm_31
    Pour la 1°


  • Ludwig
    Ludwig
    Oui, et cela correspond à l'inscription rectangulaire d'un triangle rectangle d'hypoténuse la longueur du rectangle.
    Pour la deuxième équation il s'agit de l'inscription d'un rectangle dans un autre rectangle.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    Modifié (September 2022)
    RE
    Un cercle $(O, b)$ et un point $C$ du diamètre situé à la distance $c$ du bord.
    La perpendiculaire au diamètre élevée de $C$ coupe le cercle en deux points.
    On construit le cercle $(O', a)$  passant par ces deux points.
    La distance $x$ de $C$ au bord du cercle $(O')$ vérifie $x(a - x) = c(b - c)$.
    La méthode usuelle consiste à remplacer $c(b - c)$ par un carré équivalent.
    A+

    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Ludwig
    Ludwig
    Par l'inscription d'un rectangle dans un autre : $a=AB$, $b=AD$, $c=\overline{AE}$, $O$ milieu de $[AC]$.
    Le cercle de centre $O$ passant par $E$ coupe $(AD)$ en $F$.
    Alors $\overline{FD}$ et $AF$ sont les racines de $x^2-ax+c(b-c)=0$.


  • fm_31
    fm_31
    Je n'ai pas su exploiter les indications de Piteux_gore  mis celles de Ludwig que j'ai un peu modifiées m'ont bien guidé pour le schéma joint 


  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE
    Mea culpa, les deux cercles sont de diamètres $a$ et $b$.
    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
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