Principalisation dans $\Bbb Q[\sqrt{-195}]$

$\newcommand\Z{{\Bbb Z}}\newcommand\Q{{\mathbb Q}} \newcommand\f{\frac}\newcommand{\r}[1]{\sqrt{#1}}\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}\newcommand{\fp}{{\frak p}}$
J'ai $k=\Q[\r{-195}]$, $disc=-195=-3\times 5\times 13$, Seuls $3,5,13$ sont ramifiés.
$(3)=\fp_3^2,\ (5)=\fp_5^2,\ (13)=\fp_{13}^2$.
Un petit détour par les formes quadratiques me donne $h=4$, le groupe des classes étant $\{1,\fp_3,\fp_5,\fp_{13}\sim\fp_3\fp_5\}$.
Dans $K=\Q[\sqrt{-195},\sqrt{-3}]$ comme $(3)=(\sqrt{-3})^2$, $\fp_3=(\r{-3})$ est donc devenu principal.
On m'affirme que dans $K$, ni $\fp_5$ ni $\fp_{13}$ ne deviennent principaux. 
Est-ce que je dis une bêtise si j'affirme que sinon par exemple il existerait un élément de $K$ de norme $25$ ?
J'ai pu démontrer que c'était impossible en calculant la norme d'un entier de $K$ et avec quelques congruences modulo 5 et 3.
Merci.