Produit fibré

Barjovrille · September 2022

Bonjour
J'ai un problème sur la définition du produit fibré entre 2 objets d'une catégorie.
Dans tout ce qui suit le cours que j'ai, considère que $\forall X,Y$ objets d'une catégorie $\mathcal{C}$, les flèches de $X$ vers $Y$ forment un ensemble. qu'on note $ Hom(X,Y)$.

On commence par définir le produit fibré ensembliste, soient $X,Y,S$ trois ensembles, soient $f : X \mapsto S$ et $g : Y \mapsto S$ deux applications.
le produit fibré $X \times_{f,g} Y$ ou $X \times_{S} Y$ s'il n'y a pas d'ambiguïté sur $(f,g)$ est l'ensemble des couples $(x,y) \in X \times Y$ tels que $f(x)=g(y)$ avec une application $h : X \times_{f,g} Y \mapsto S$ qui vérifie $h(x,y)=f(x)$ et pour tout $s\in S$, on a $h^{-1}(s)=f^{-1}(s) \times g^{-1}(s)$.

Ensuite on définit le produit fibré pour les catégories.
Soit $\mathcal{C} $ une catégorie soit $X,Y,S$ des objet de $\mathcal{C}$ soit $f: X \mapsto S$ soit $g: Y \mapsto S$ deux flèches,
si le foncteur contravariant de $\mathcal{C}$ vers $Ens$ (la catégorie des ensembles) $T : \mapsto Hom(T,X) \times_{Hom(T,S)} Hom(T,Y)$ est représentable on note $X\times_{S} Y$ ou $X \times_{f,g} Y $ son représentant qu'on appelle produit fibré.

Mon problème c'est dans la définition du foncteur contravariant ci-dessus on voit que l'image du foncteur est un produit fibré ensembliste mais on est dans le cas sans "ambiguïté" où l'indice en dessous de la croix n'est pas les 2 fonctions du produit fibré mais juste leur espace d'arrivée.

Ma question est c'est quoi les deux fonctions du produit fibré exposé dans l'image du foncteur ?
Par définition du fibré ensembliste il faut avoir deux fonctions une de $Hom(T,X) \mapsto Hom(T,S)$ et une $Hom(T,Y) \mapsto Hom(T,S)$.

GaBuZoMeu · September 2022

Bonjour

Déplions la définition : elle veut dire que le produit fibré $X\times_SY$ est un objet $P$ muni de deux flèches $u: P\to X$ et $v: P\to Y$ vérifiant :

1°) $fu=gv$ ;

2°) Pour tout objet $T$ et toutes flèches $s:T\to X$ et $t: T\to Y$ telles que $fs=gt$, il existe une unique flèche $p: T\to P$ telle que $s=up$ et $t=vp$.

Une fois ceci explicité, tu as la réponse à ta question.

Avec un p'tit diagramme, c'est plus mieux :

$$\xymatrix{T\ar @ /_/ [rdd]_-{s} \ar @ /^/ [rrd]^-{t} \ar @ {-->} [rd]^-{p} &&\\&P\ar[r]^-{v}\ar[d]^-{u}&Y\ar[d]^-{g}\\&X\ar[r]^-{f}&S}$$
Bon, ben on se passera du diagramme.
[Il y a un problème sur le forum avec XY-pic ! Cela compile chez moi. AD

]

J'ai aussi bien sûr testé chez moi, et ça marchait. @Calli m'a donné la clé : si on ne laisse pas une espace après @ , le forumpense qu'on veut citer un participant.

Barjovrille · September 2022

Merci @GaBuZoMeu pour ta réponse je pense avoir trouvé,
j'introduis les transformations naturelle entre foncteurs de $\mathcal{C}$ vers $Ens$ suivantes (c'est des transformations "associées" à f et à g)
pour tout $T$ on se donne $F(T) : Hom(T,X) \mapsto Hom(T,S)$ tel que pour tout $h : T \mapsto X$ on a $F(T)(h)= f \circ h$ et de même $G$ le même type de transformation associé à $g$.
Ce sont ces transformations qu'on va utiliser pour expliciter les conditions des produits fibrés.

On pose $ \psi : T \mapsto Hom(T,X) \times_{Hom(T,S)} Hom(T,Y)$ le foncteur contravariant cité plus haut.

1) En reprenant les hypothèses et tes notations, si on a $(P,(u,v))$ représentant de $\psi$ d'après Yoneda on sait que $(u,v) \in \psi(P)=Hom(P,X) \times_{Hom(P,S)} Hom(P,Y)$ et donc la condition du produit fibré sur (u,v) $F(P)(u)=f \circ u = G(P)(v)= g \circ v$.

2) comme $\psi$ est représentable de représentant $(P,(u,v))$ pour tout $T$ on a une bijection de $Hom(T,P)$ vers $Hom(T,X) \times_{Hom(T,S)} Hom(T,Y)$
et d'après Yoneda on sait que cette bijection est de la forme
$H(T) : Hom(T,P) \mapsto Hom(T,X) \times_{Hom(T,S)} Hom(T,Y)$ tel que $H(T)(h)=\psi(h)(u,v)=(u \circ h, v \circ h)$

Comme $H(T)$ est une bijection, pour tout $(s,t)$ qui appartient au produit fibré (donc tel que $F(T)(s)=f \circ s =G(T)(t)= g \circ t$ ) il existe un unique $p \in Hom(T,P)$ tel que $H(T)(p)=(s,t)$ donc tel que $(u \circ p, v \circ p)= (s,t)$.

Je n'arrive pas à justifier que $\psi(h)(u,v)=(u \circ h, v \circ h)$ sachant que dans le cours le foncteur $\psi$ a été défini juste par son départ et son arrivé j'ai mis une expression qui collait bien à tes conditions et qui "revient" souvent dans le cours j'ai l'impression que c'est un foncteur "classique"?(ou alors ma réponse est fausse)

GaBuZoMeu · September 2022

Le bifoncteur $(T,X)\mapsto \mathrm{Hom}(T,X)$ (contravariant en $T$, covariant en $X$) agit de la façon suivante sur les flèches : si on a $f:T'\to T$ et $g:X\to X'$, alors

$$\begin{align} \mathrm{Hom}(f,g) : \mathrm{Hom}(T,X)&\longrightarrow \mathrm{Hom}(T',X')\\ u&\longmapsto g\circ u\circ f\;.\end{align}$$C'est tellement standard que c'est passé sous silence.

Thierry Poma · September 2022

\[\xymatrix@R+3pc@C+5pc{T \ar@/_/[rdd]_-{s} \ar@/^/[rrd]^-{t} \ar@{-->}[rd]^-{p} & &\\ & P \ar[r]^-{v} \ar[d]^-{u} & Y \ar[d]^-{g} \\ & X \ar[r]^-{f} & S}\]

Voici le texte source en lien :

Thierry Poma · September 2022

Voici un extrait de Algèbre - Chapitres 1-3 (A II.6) de Bourbaki qui illustre les deniers propos de GaBuZoMeu :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/8g/j3ylbiusjmrn.png

Thierry Poma · September 2022

A la page 45 de son livre intitulé Introduction au langage catégorique, Ibrahim Assem propose ce qui suit, i.e. la même chose que GaBuZoMeu, avec un diagramme :

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/xh/phiu5jxh8wp7.png

Barjovrille · September 2022

Merci beaucoup @GaBuZoMeu et @Thierry Poma je vais regarder ça.

Produit fibré

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