Un produit infini
Bonjour à tous,
Existe-t-il une suite $(u_n)$, telle que le produit infini $ \displaystyle \prod_{k=1}^\infty(1+u_k) $ converge mais la série $ \displaystyle \sum u_n $ diverge ?
Je pleure face à cette question. La moindre indication est bienvenue.
On rappelle qu'un produit infini est dit convergent si la suite des produits partiels converge vers une limite finie non nulle.
(c'est comme ça ; sur wikipedia par exemple et à d'autres endroits de la littérature).
Si le produit converge, $1+u_n$ tend vers $1$ et donc $u_n$ tend vers 0.
Si la suite est à terme réels et est de signe constant à partir d'un certain rang, le produit et la série ont même nature grâce au saint logarithme népérien.
Donc il faudrait aller chercher des suites alternées par exemple ;
Ou bien montrer qu'il n'en existe pas, mais ça ne me paraît pas du tout évident... :=)
Existe-t-il une suite $(u_n)$, telle que le produit infini $ \displaystyle \prod_{k=1}^\infty(1+u_k) $ converge mais la série $ \displaystyle \sum u_n $ diverge ?
Je pleure face à cette question. La moindre indication est bienvenue.
On rappelle qu'un produit infini est dit convergent si la suite des produits partiels converge vers une limite finie non nulle.
(c'est comme ça ; sur wikipedia par exemple et à d'autres endroits de la littérature).
Si le produit converge, $1+u_n$ tend vers $1$ et donc $u_n$ tend vers 0.
Si la suite est à terme réels et est de signe constant à partir d'un certain rang, le produit et la série ont même nature grâce au saint logarithme népérien.
Donc il faudrait aller chercher des suites alternées par exemple ;
Ou bien montrer qu'il n'en existe pas, mais ça ne me paraît pas du tout évident... :=)
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Réponses
Je répondais à la question juste après le "bonjour à tous", si c'est bien la question alors c'est bon.
Sinon, toujours pour la même question, il suffit que la suite u atteigne -1 pour que le produit converge, donc il suffit de prendre n'importe quelle série divergente dont le terme général atteint -1.
Le produit doit converger vers une limite non nulle (c'est en gras).
$U_{2k} = -0.5$
$U_{2k+1} = +1$
Avec cette suite , on a le résultat voulu, si on prend la convergence telle que définie par certains...
Donc partons sur cette base :
$U_{2k} = -0.5/k$
$U_{2k+1} = +1/k$
On peut chercher une suite $(u_n)$ vérifiant $1-u_{2k+1}=\frac1{1+u_{2k}}$ pour tout $k$ et telle que $\big(u_{2k}+1-\frac1{1+u_{2k}}\big)_k$ n'est pas sommable. Par exemple $u_{2k}=k^a$ pour un certain $a$.
En effet : $ u_n - \mathrm{ln}(1+u_n) \sim u_n^2/2 $
Or : $\sum u_n^2 $ diverge et est positive donc la somme partielle tend vers $+\infty$ ;
Donc la somme partielle de $u_n - \mathrm{ln}(1+u_n) $ aussi (par théorème de sommation des relation de comparaison, elle est équivalente à la somme partielle précédente)
Or $\sum u_n $ converge donc $\sum\limits_{k=2}^n - \mathrm{ln}(1+u_k) \to +\infty $
Donc $\sum\limits_{k=2}^n \mathrm{ln}(1+u_k) \to -\infty $ donc en passant l'exp le produit tend vers 0.
@raoul.S Merci ! Pour une raison étrange je n'avais pas pensé à mettre plusieurs termes...
On a $ \displaystyle \sum_{k=2}^N \mathrm{ln}(1+u_k) \xrightarrow[N\to\infty]{} -\infty $ comme je l'ai montré
Par composition de limites, $ \displaystyle \exp\left( \sum_{k=2}^N \mathrm{ln}(1+u_k) \right) \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 $
Soit $ \displaystyle \prod_{k=2}^N (1+u_k) \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 $
Dans ce cas si on ne parle pas de la même suite, il reste à vérifier qu'elle répond au cahier des charges.
En tout cas merci pour cet autre contre exemple @Lars