Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem)
Résolution d'une équation de degré 2
dans Géométrie
Bonjour,
Résoudre à la règle et au compas l'équation $x^2 - ax + (a^2 - b^2)/2 = 0$ autrement que par la méthode classique du demi-cercle coupé par une parallèle au diamètre.
A+
Résoudre à la règle et au compas l'équation $x^2 - ax + (a^2 - b^2)/2 = 0$ autrement que par la méthode classique du demi-cercle coupé par une parallèle au diamètre.
A+
Réponses
-
Bonjour à tousOn peut intersecter la parabole d'équation: $y=x^2$ avec la droite d'équation: $y=ax+\dfrac{b^2-a^2}2$Amicalementpappus
-
RE
Il y a beaucoup plus simple.
A+Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem) -
RE
Une indication
l'équation concernée intervient dans le problème de l'inscription d'un carré dans un autre.
A+Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem) -
Salut !
Je construis le carré de côté $b$ pour avoir sa demi-diagonale $d$.
Ensuite le carré de côté $a$, de centre $O$.
Le cercle de centre $O$ et de rayon $d$ coupe ce carré en $C$ (voir figure), pourvu que $a \frac{\sqrt{2}}{2} \leq b \leq a$.
$AC$ et $BC$ sont les racines recherchées.
C'est simple mais il faut tracer les carrés, donc pas mal de cercles.
Amicalement, Ludwig
-
Bravo, Ludwig, bien joué !JLB
-
On peut ajouter que la méthode s'étend au cas $b>a$ en prenant les intersections du cercle avec les droites supportant les côtés du carré de côté $a$. La restriction que j'ai donnée correspond aux équations dont les deux racines sont positives.
-
Autre construction sur le même principe
-
RE
Merci à Eugène Catalan, qui m'a fourni l'idée !
Voici donc une autre façon de construire les racines...
Quid du problème contraire : circonscrire un carré donné à un autre carré donné.
Généralisation : inscrire (ou circonscrire) un n-gone régulier à un autre.
A+Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem) -
Bonjour Piteux_gore,Il me semble que les questions de ton dernier message relèvent d'une simple similitude directe ...Bien cordialement, JLB
-
RE
Même question avec $x^2 - ax + (a^2 - b^2)/3 = 0$.
A+Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem) -
RE
On remplace les carrés par des triangles équilatéraux.
A+Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem) -
Un schéma
-
RE
Avec $x^2 - ax + a^2 - b^2 = 0$ on a des hexagones réguliers.
Les sommets du triangle circonscrit, sont les intersections du cercle de rayon $a\sqrt 3/3$ et des arcs capables de $\pi/3$ décrits sur les côtés du petit triangle.
Les sommets de l'hexagone circonscrit, sont les intersections du cercle de rayon $a$ et des arcs capables de $2\pi/3$ décrits sur les côtés du petit hexagone, etc.
A+
Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem) -
J'aime bien voir sur un schéma
-
Et celles-ci ?
$x^2-ax+b^2=0$
$x^2-ax+c(b-c)=0$. -
Pour la 1°
-
Oui, et cela correspond à l'inscription rectangulaire d'un triangle rectangle d'hypoténuse la longueur du rectangle.
Pour la deuxième équation il s'agit de l'inscription d'un rectangle dans un autre rectangle. -
RE
Un cercle $(O, b)$ et un point $C$ du diamètre situé à la distance $c$ du bord.
La perpendiculaire au diamètre élevée de $C$ coupe le cercle en deux points.
On construit le cercle $(O', a)$ passant par ces deux points.
La distance $x$ de $C$ au bord du cercle $(O')$ vérifie $x(a - x) = c(b - c)$.
La méthode usuelle consiste à remplacer $c(b - c)$ par un carré équivalent.
A+
Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem) -
Par l'inscription d'un rectangle dans un autre : $a=AB$, $b=AD$, $c=\overline{AE}$, $O$ milieu de $[AC]$.
Le cercle de centre $O$ passant par $E$ coupe $(AD)$ en $F$.
Alors $\overline{FD}$ et $AF$ sont les racines de $x^2-ax+c(b-c)=0$.
-
Je n'ai pas su exploiter les indications de Piteux_gore mis celles de Ludwig que j'ai un peu modifiées m'ont bien guidé pour le schéma joint
-
RE
Mea culpa, les deux cercles sont de diamètres $a$ et $b$.
A+Aux âmes bien nées la valeur ne s'éteint pas avec le nombre des années. (Mathusalem)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres