Équivalent de $u_{n+1}=1/2(u_n+u_n^2)$
Bonsoir
Soit $u_{n+1}=\frac12(u_n+u_n^2)$, $u_0\in[0,1]$.
Il est facile de prouver que $u_n$ tend vers $0$, que $u_{n+1}/u_n$ devient $<3/4$ donc que la série $\sum u_n$ converge.
On demande ensuite de déterminer $\lim 2^nu_n$ et là je sèche !
On a bien sûr $v_{n+1}=v_n+v_n^2/2^n$ j'ai donc essayé des choses à coup de sommation mais ça ne donne rien.
Quelqu'un a-t-il une idée
Merci.
Soit $u_{n+1}=\frac12(u_n+u_n^2)$, $u_0\in[0,1]$.
Il est facile de prouver que $u_n$ tend vers $0$, que $u_{n+1}/u_n$ devient $<3/4$ donc que la série $\sum u_n$ converge.
On demande ensuite de déterminer $\lim 2^nu_n$ et là je sèche !
On a bien sûr $v_{n+1}=v_n+v_n^2/2^n$ j'ai donc essayé des choses à coup de sommation mais ça ne donne rien.
Quelqu'un a-t-il une idée
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Réponses
On montre que $\ln(v_{n+1})-\ln(v_n)\sim u_n$, cela suffit pour prouver la convergence de la suits $(v_n)$.
En revanche sa limite doit dépendre de $u_0$ et je ne pense pas qu'il existe une formule simple.
Je suis bien de l'avis de jandri
je me demande si la question d'origine n'était pas plus simplement prouver que la limite existe
des simulation en python ne donne rien de palpitant; ça dépend complètement de u0
Merci quand même