Suite
Bonjour, bonsoir
Soit la suite définie par $u_{1},u_{2}$ entiers non nuls et $$u_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n-2}+n}{\left(u_{n-1},u_{n-2},n\right)},$$ où $\left(x,y,z\right)$ désigne le pgcd de $x,y,z$. J'observe que quelles que soient les valeurs de départ $u_{1},u_{2}$ le rapport $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}$ tend vers $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Est-ce démontrable ? À vue d’œil on se doute que la suite peut se comporter en moyenne comme celle de Fibonacci. Mais ce n'est pas un argument !
Soit la suite définie par $u_{1},u_{2}$ entiers non nuls et $$u_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n-2}+n}{\left(u_{n-1},u_{n-2},n\right)},$$ où $\left(x,y,z\right)$ désigne le pgcd de $x,y,z$. J'observe que quelles que soient les valeurs de départ $u_{1},u_{2}$ le rapport $\frac{u_{n}}{u_{n-1}}$ tend vers $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Est-ce démontrable ? À vue d’œil on se doute que la suite peut se comporter en moyenne comme celle de Fibonacci. Mais ce n'est pas un argument !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Y a-t-il un but ou un intérêt de cette suite ?
J'avais cru que ta suite était croissante (pour $n=50$, elle diminue).
4 10 5
5 4 2
6 10 1
7 21 1
8 39 3
9 23 1
10 72 1
11 106 2
12 95 1
13 214 2
14 323 1
15 552 8
16 891 1
17 1460 2
18 2369 1
19 3848 4
20 6237 21
21 10106 2
22 16365 1
23 26494 2
24 42883 1
25 69402 2
26 112311 9
27 60580 4
28 172919 1
29 233528 2
30 406477 1
31 640036 4
32 1046545 1
33 1686614 2
34 2733193 1
35 4419842 2
36 7153071 1
37 11572950 2
38 18726059 1
39 30299048 8
40 49025147 1
41 79324236 6
42 128349425 1
43 207673704 4
44 336023173 1
45 543696922 2
46 879720141 1
47 1423417110 6
48 767712433 1
49 2191129592 2
50 2958842075 1
51 5149971718 2
52 8108813845 1
53 13258785616 2
54 21367599515 5
55 34626385186 2
56 55993984757 1
57 90620370000 2
58 146614354815 1
59 237234724874 2
60 383849079749 1
61 621083804684 2
62 1004932884495 3
63 1626016689242 2
64 2630949573801 1
65 4256966263108 2
66 6887915836975 1
67 11144882100150 2
68 18032797937193 3
69 9725893345804 2
70 27758691283067 1
71 37484584628942 2
72 65243275912081 1
73 102727860541096 2
74 167971136453251 1
75 270698996994422 2
76 438670133447749 7
77 709369130442248 2
78 1148039263890075 1
79 1857408394332402 2
80 3005447658222557 1
81 4862856052555040 2
82 7868303710777679 1
83 12731159763332802 6
84 20599463474110565 5
85 33330623237443452 2
86 53930086711554103 1
87 87260709948997642 2
88 141190796660551833 1
89 228451506609549564 18
90 123214101090033829 1
91 351665607699583484 4
92 474879708789617405 1
93 826545316489200982 2
94 1301425025278818481 1
95 2127970341768019558 2
96 3429395367046838135 1
97 5557365708814857790 2
98 8986761075861696023 1
99 14544126784676553912 4
100 23530887860538250035 1
Pour la réciproque on aura la suite u de la forme $\forall n\ge n_0,\quad u_n=a\phi^n+b(\frac {-1}{\phi})^n+\alpha n+\beta\sim a\phi^n$
(Eh , je n'ai pas réfléchi)
[
Je ne suis pas accoutumé à des représentation des entiers à longueur variable (et là il doit être sur des centaines d'octets)
Edit : une remarque, le PGCD c'est avec n ou n+1? Dans le message d'intro, c'est n, mais ça ne colle pas avec la liste...
6 2
9 3
12 2
27 3
48 3
...
22875 3
22880 11
22932 7
Vois-tu le sens direct?
1- Montre que $u_n / n$ tend vers $+\infty$ (d'où $\frac n{u_{n-1}}$ tend vers 0)
2- En déduire $\left(u_{n-1},u_{n-2},n\right)$ tend vers 1 en remarquant que $\frac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac {1+\frac{u_{n-2}}{u_{n-1}}+\frac n{u_{n-1}}}{\left(u_{n-1},u_{n-2},n\right)}$.
3- Conclure.
$$u_{n}=\frac{u_{n-1}+n}{(u_{n-1},n)}$$ Montrer que $u_{n}$ n'est jamais égal à $6$. Pour l'instant je bloque
3 2
4 3
5 8
6 7
7 2
8 5
9 14
10 12
11 23
12 35
13 48
14 31
15 46
16 31
17 48
18 11
19 30
20 5
Soiit la suite définie par $u_{1},u_{2}$ entiers non nuls avec leur pgcd égal à 1et
$$u_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n-2}}{\gcd(u_{n-1},u_{n-2})},$$
Peux-tu dire quoi sur cette suite ?
Pour ta récurrence d'ordre1 , ta simulation te suggère quoi comme limite de $u_n / u_{n-1} $.
Ma suite n'est pas celle de Fibonacci car on a pas nécessairement $u_1=u_2=1$
À démontrer que (mais @Boécien ne trouve pas la question intéressante) $$u_n = u_1F_{n-2} + u_2F_{n-1},\quad \forall n\ge 3,$$ avec $F_n$ la suite de Fibonacci (je rappelle) définie par $u_1=u_2=1$ et $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$
Cher ami j'ai posté la question sur MSE. Advienne que pourra.
Dans une semaine, si on ne reçoit rien , le dernier recourt c'est MO. On a besoin juste une idée pour la développer ici même !
dommage que @Siméon ne vient plus au forum
En remarquant qu'à chaque étape, $\max (u_{n-1}, u_{n-2}, n)=n$ et $\min (u_{n-1}, u_{n-2}, n)=1$, on pose $$a_{n}=\frac{u_{n-1}+u_{n-2}+n}{n}\quad\text{et}\quad b_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}+n.$$ Et de là on a donc $$a_{n}\leqslant u_{n}\leqslant b_{n}.$$ Ensuite si on peut démontrer que $$\lim \limits_{n\to +\infty}\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\lim \limits_{n\to +\infty}\frac{b_{n}}{b_{n-1}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ on peut conclure, non ?