Inéquation fonctionnelle
Bonjour
Quelles sont les fonctions $C^{\infty}$ d'un intervalle $]a,b[$ de $\R$ dans $ \R^{+ *}$ telles que $f( \frac{x+y}{2}) \leq \frac{2f(x)f(y)}{f(x)+f(y)}$ pour tout $x,y \in ]a,b[$ ?
Quelles sont les fonctions $C^{\infty}$ d'un intervalle $]a,b[$ de $\R$ dans $ \R^{+ *}$ telles que $f( \frac{x+y}{2}) \leq \frac{2f(x)f(y)}{f(x)+f(y)}$ pour tout $x,y \in ]a,b[$ ?
Les constantes et les fonctions de la forme $x \mapsto \frac{c}{(x+d)^{\alpha}}$ avec $\alpha>0, a+d>0, c>0$ sont solutions, il me semble. Mais il y en a peut-être d'autres (par exemple des fonctions de la forme ci-dessus par morceaux).
Merci.
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Réponses
NB On connait la caractérisation de la convexité par l'inégalité de Jensen $g\left(\frac{x+y}2\right) \le \frac{g(x)+g(y)}2$