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Décimales du nombre $\pi$

Bonjour à tous,
je souhaite évoquer le nombre $\pi$ avec mes élèves.
Je commence à écrire les premières décimales du nombre $\pi$ au tableau : "3,141 592 653".
Et une question me vient : après le "3", pour indiquer que je ne peux pas écrire écrire toutes ces décimales (car il y en a une infinité), est-ce que les pointillés "..." conviennent ? 
En effet, les pointillés présents dans "3,141 592 653 ..." et ceux présents dans "0, 777 777 777 ..." ne disent pas la même chose :
1) dans le premier cas, ils signifient qu'il y a d'autres décimales parmi les 10 chiffres mais l'ordre de ces chiffres n'est pas donné.
2) dans le deuxième cas, ils signifient qu'il y a d'autres décimales mais que seul le chiffre "7" est utilisé.
J'aimerais votre avis sur ce sujet.
Je vous remercie par avance.

Réponses

  • Modifié (12 Sep)
    Bonjour, 

    D'abord, il vaudrait mieux écrire les bonnes décimales, ensuite, une bonne notation (il y en a plusieurs, mais les ... n'en font pas partie) pour indiquer que le $7$ est répété est : $0.777\underline 7$
    504, c'est trop !

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Modifié (12 Sep)
    Bonjour,
    Pour moi les pointillés ne conviennent jamais. Il faut toujours les accompagner d'une phrase pour leur donner un sens préçis. On les utilise pour vulgariser, et dans cette optique, je ne pense pas que donner une autre écriture serait particulièrement plus pertinent.

    Edit : tu peux quand même écrire par exemple $\pi \approx 3.141592$ ce qui est plus acceptable à mon avis...
  • Je suppose que dans ce cas, je ferais un petit speech, du genre:
     Pour votre culture générale: tous les nombres ne sont pas rationnels, les nombres rationnels (et eux seuls) ont la particularité d'avoir une périodicité dans les décimales à partir d'un certain rang. Là ce n'est pas le cas (on en est sûr et certain depuis environ deux siècles), vu que c'est un nombre vachement important pour la géométrie, on s'en préoccupe depuis l'Antiquité, par plein de moyens différents (notamment polygones réguliers, tu peux les occuper avec des rosaces pour faire un hexagone et expliquer que c'est donc supérieur à 3).
    Si tu as envie tu peux parler d'analyse mais ça peut devenir trop compliqué (série de Leibniz, mais ça part sur de la fonction trigonométrique, l'arctangente). 

    C'est notamment pour ça qu'il vaut mieux que je ne sois pas prof. 
  • SocSoc
    Modifié (12 Sep)
    Les conventions que j'utilise avec les élèves (de collège), en leur précisant bien qu'une seule parmi elles est une notation universelle:
    * souligner la période quand il y en a une: $17.3/11=1.5\underline {72}$
    * utiliser "$...$" quand on ne sait pas ou ne veut pas écrire les décimales suivantes: $\pi = 3.1415...$
    * utiliser $\approx$ pour n'importe quelle estimation: $ \text{nombre d'élèves dans la salle à côté} \approx 30$
    * utiliser $\simeq$ pour la valeur approchée la plus précise possible à un rang donné: $17.3/11\simeq1.6$
    Pour une introduction aux valeurs approchées du nombre $\pi$ tu peux par exemple leur demander de calculer le périmètre d'un cercle de rayon 5, sans précision, puis voir ceux qui utilisent la calculatrice ou pas. Tu peux ensuite leur préciser que tu veux un arrondi au centième. Finalement tu préfères une valeur exacte. Tu ne réponds volontairement que vaguement aux questions pour voir leurs réflexes et ensuite tu reprends tout depuis le début en mettant au clair valeur exacte ou approchée, précision d'un arrondi, que contient la touche $\pi$ de la calculatrice etc... Si tu as de la chance, tu pourras aussi leur faire constater que les calculatrices ne donnent pas toutes la même réponse quand on leur demande $2/3$.
  • Modifié (12 Sep)
    Parler des décimales de $\pi$ à des enfants qui ne connaissent pas la notion de séries, et encore moins celle de séries convergente, risquerait de faire naître une pensée fausse dans leurs têtes. Ils risqueraient de croire à la notion d' "écriture" infinie.
  • Pourquoi pas ? Les décimales de $\pi$ forment bien une suite (infinie) $a_0=3$, $a_1=1$, $a_2=4$, etc. telle que pour tout $n$, $\overline{a_0,a_1a_2\cdots a_n}\leqslant \pi<\overline{a_0,a_1a_2\cdots a_n} + 10^{-n}$.
  • Modifié (12 Sep)
    Oui, mais je doute que les gamins voient ça comme cela.
    Bon, je sous-estime peut-être la capacité des gosses.
  • Quelle est ton objection ? On manipule les nombres réels tout au long du secondaire, bien avant de leur donner une définition et malheureusement je ne vois pas comment l'éviter.
  • Je pense qu'un élève de collège est parfaitement capable de comprendre que $3,14<\pi<3,15$ par exemple, et que plus on ajoute des décimales, meilleure est l'approximation.
  • Modifié (12 Sep)
    Je voulais juste dire qu'on risquait de leur implanter une fausse notion dans la tête.
    Si, on me demandait mon avis, alors les enfants ne verraient pas les nombres réels avant les suites de Cauchy et les relations d'équivalence et la notion de limite...bref, on ferait tout dans l'ordre qu'il faut.

    L'éducation de masse veut que les élèves apprennent rapidement les choses qui sont utiles tous les jours sans se soucier qu'ils comprennent les fondements de ces choses.
    Désolé pour l'interruption.
  • Archimède a calculé une valeur approchée de $\pi$ sans savoir ce qu'est une suite de Cauchy. On peut déjà faire des maths de haut niveau sans que tous les fondements aient été établis. D'ailleurs de nos jours, on ne voit plus la construction de $\R$, ni en Licence de math, ni en prépa.
  • Modifié (12 Sep)
    @cohomologies : Tu plaisantes, n'est-ce pas ? Pourquoi ne pas subordonner l'introduction des fractions à un cours décent sur la localisation dans les anneaux (pas nécessairement intègres, et après tout pourquoi se limiter au commutatif quand Ore a donné des conditions parfaitement opérantes pour traiter le non-commutatif ?) ou celle des relatifs à l'étude des monoïdes généraux (en effet, cette histoire de soustraction risque d'induire l'idée fausse que tout élément de tout monoïde est simplifiable !). C'est aussi absurde pédagogiquement qu'historiquement.
    (Oui, je m'en veux de nourrir le troll.)
  • Modifié (12 Sep)
    Bonjour,
    +1 avec @JLT, la construction intuitive à partir des nombres décimaux pour les réels est largement suffisante pour bon nombre d'étudiants à fortiori dans le secondaire. Et puis pourquoi les suites de Cauchy, pourquoi pas les coupures de Dedekind tant qu'on y est ?
    Plus sérieusement, @cohomologies, les maths sont un outil pour l'immense majorité des étudiants donc les fondements (quoi que tu mettes derrière ce mot) n'ont pas forcément leur place dans le cursus. Je comprends que tu le déplores si tu aimes ça mais personnellement, c'est l'inverse, j'ai toujours aimé principalement les maths utilisables même si c'est pour résoudre des problèmes théoriques. En revanche, je te rejoins sur le fait qu'il faut faire attention à ne pas créer de blocage pour la suite éventuelle de leurs études. Mais les ... ne me paraissent pas un problème en expliquant que cela ne veut pas dire que le dernier chiffre se répète, cela veut juste dire qu'on n'a pas pris le temps de calculer les chiffres qui suivent car la précision est suffisante pour nos calculs.
    Juste une petite question @Soc, puisque tu mets quasiment tout en place, pourquoi ne pas parler de chiffre significatif, chiffre incertain avec la convention d'écriture ± incertitude ? Pour le coup de souligner la période, je ne vois pas trop comment tu justifies qu'elle existe ou non et encore moins comment tu attends des gamins qu'ils la trouvent même si l'idée me plait bien.
  • Vous avez tous des arguments solides.
  • Le message suivant de JLT est tout à fait ce qu’il se passe en classe de 6e. 
  • Personnellement, mes enfants n'apprendront pas à compter avec vos bêtises pédagogiques modernes type "j'ai trois bonbons", mais par Peano dès le berceau.
    Hors de question qu'ils aient en tête l'idée de ligne continue sans avoir été initiés par une coupure de Dedekind.

    D'ailleurs je ne les autoriserai à marcher jusqu'à la boulangerie qu'après avoir prouvé que c'était possible par principe d'Archimède.
  • 504, c'est trop !

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Pour la période, je leur fais juste poser la division, ensuite ils comprennent vite seuls que mêmes causes donnent même effets et identifient facilement les périodes.
    Ensuite je leur fais comprendre que par exemple en divisant par 7, les restes font qu'ils vont avoir une période d'au plus 6 chiffres. Ils comprennent assez bien la généralisation.
  • Je ne mentionne pas exactement les chiffres significatifs, en revanche je leur fais réaliser que quand on réutilise une plusieurs valeurs approchées pour la suite des calculs on a des problèmes avec la précision finale. J'essaie de les convaincre de la nécessité d'une plus grande précision sur les valeurs intermédiaires d'un calcul, sans la quantifier, et généralement je pénalise un demi-point quand ils n'ont pas la précision exigée au résultat final.
    Pour les meilleurs élèves je les incite à donner la valeur exacte jusqu'à l'avant dernière ligne quand c'est possible, sans les y contraindre.
  • Modifié (12 Sep)
    En fait, cela ne m'étonne pas tant que cela qu'en pratiquant "l'algorithme division" ils comprennent plus ou moins d'où vient la période.
    Pour le coup, tu es trop gentil à mes yeux, perso je crois que j'exigerais des valeurs exactes jusqu'à la fin à ta place, mais je ne sais pas trop si c'est autorisé par l’Éducation Nationale. C'est une bonne habitude à prendre et en plus, cela rend leur propre relecture plus facile avec du calcul littéral, enfin je trouve.
  • Si j'exige systématiquement des valeurs exactes, je perds trop d'élèves et je tiens aussi à ce qu'ils aient des ordres de grandeur. Pour les fractions je demande généralement le résultat sous forme de fraction irréductible, et parfois je leur demande l'écriture décimale exacte (avec la période si besoin). Pour Pythagore ou la trigo je leur demande généralement d'arrondir "si besoin" et à eux de savoir si leur résultat est une valeur exacte ou pas. Parfois je ne précise pas et à eux de choisir la forme de la réponse.
    Les très bons élèves goutent assez vite à la satisfaction d'avoir la valeur exacte et vont chercher à la donner sans que je le réclame.
    Dans tous les cas le plus important à mes yeux est qu'ils distinguent une valeur exacte d'un résultat faux, même s'il est très précis (je le formule comme ça pour les marquer).
  • @cohomologies pour vraiment apprécier les fondements tu dois d'abord faire des maths sans (ce n'est qu'une condition nécessaire... voir le post de Vassillia :mrgreen: ) .

    Pédagogiquement commencer par les fondements c'est juste du suicide. Essaie avec un élève et tu t'en rendras vite compte. Le cerveau n'est pas câblé pour commencer avec les fondements. 
  • Jolie formulation, on sent bien qu'un résultat très précis mais faux n'est pas d'une très grande utilité. Je pense qu'ils s'en rappelleront (d’expérience tout le monde ne l'apprend pas mais c'est une autre histoire)
  • raoul.S a dit :
    Le cerveau n'est pas câblé pour commencer avec les fondements. 
    Sauf si on a la tête dans le…
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • On parle beaucoup des fondements des mathématiques, ici, mais qu’est-ce que vous mettez dans les fondements ?
  • Modifié (14 Sep)
    Fondements pratiques (pour les enfants) :
    Les ensembles de nombres usuels jusqu'aux réels (que l'on peut voir comme des mesures algébriques de distances sur une droite orientée munie d'une unité) et les opérations usuelles
    La notion de mesure d'angle, d'aires, la trigonométrie basique et plus généralement, la géométrie du primaire et du collège sans trop forcer sur l'axiomatisation tout de même
    Quelques notions pratiques sur les ensembles (égalité, inclusion stricte) et sur la logique (distinguer une condition nécessaire d'une condition suffisante et d'une condition nécessaire et suffisante)
    Le principe de proportionnalité (règle de 3...)
    Et j'oublie certainement des choses importantes.

    Fondements théoriques (pour le supérieur) :
    Tout le programme de la licence.

  • Tu as raté la blague.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Ah oui, zut :)
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