Je crois que la question de @Mar0wwa : est-ce qu'il y a une formule qui donne le polynôme caractéristique en fonction des valeurs propres $\lambda_i$. Si par définition dans on cours on pose $P(X)=\det(M-X I)$, je pense qu'elle va trouver aussi dans [le] cours pour une matrice d'ordre n, la formule $P(X)=\prod_{i=1}^n (\lambda_i -X)=(-1)^n \prod_{i=1}^n (X-\lambda_i )$ ce qui répond à sa question.
Oui la taille de la matrice et si tu veux une formule uniquement avec les valeurs propres distinctes qu'on suppose en nombre m et chacune de multiplicité $\alpha_i$ : $P(X)=\prod_{i=1}^m (\lambda_i -X)^{\alpha_i}=(-1)^{\sum_{i=1}^m \alpha_i} \prod_{i=1}^m (X-\lambda_i )^{\alpha_i}=(-1)^n\prod_{i=1}^m (X-\lambda_i )^{\alpha_i}$
Ce corrigé est tout de même bizarre : faire trois phrases de raisonnements et parler de valeurs propres et de multiplicité pour remplacer le simple fait qu'un déterminant triangulaire est le produit des coefficients diagonaux me parait hautement suspect.
Réponses
$P(X)=\prod_{i=1}^m (\lambda_i -X)^{\alpha_i}=(-1)^{\sum_{i=1}^m \alpha_i} \prod_{i=1}^m (X-\lambda_i )^{\alpha_i}=(-1)^n\prod_{i=1}^m (X-\lambda_i )^{\alpha_i}$