Exercice résolu de géométrie de l'espace

Je propose cet exercice avec solution que j'ai "fabriqué" si ça intéresse quelqu'un 

Contexte.

On se place dans $\mathcal {E}_O$ un espace affine d'origine $O$ et de dimension $n=3$ muni de la structure d'espace vectoriel obtenu en prenant $O$ pour origine.
On note par $\vec {\mathcal {E}}$ la direction de $\mathcal {E}$

Notations.
Pour une matrice $M$ on va noter par $^tM$ sa transposée.
Un repère cartésien est un couple $\left(E,e\right)$ où $E$ est l'origine de ce repère et $e$ est une base de  $\vec {\mathcal {E}}$ 

Soient $R=\left(E,e\right)$ un repère cartésien
$B=\left(B_0,B_1,B_2,B_3\right)$ un repère barycentrique
$d$ est la somme des coordonnées barycentriques d'un point ou d'un vecteur dans ce repère barycentrique
$H$ un hyperplan affine
$X$ un point de $\mathcal {E}_O$
$x=\vec {PQ}=Q-P$ un vecteur de $\vec {\mathcal {E}}$ 
On va noter par:
$\left[X\right]_R=\begin {pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end {pmatrix}$ la matrice colonne des coordonnées cartésiennes du point $X$ dans le repère cartésien $R$
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$\left[X\right]_B=\begin {pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end {pmatrix}$ la matrice colonne des coordonnées barycentriques du point $X$ dans le repère barycentrique $B$
Alors $X=\dfrac {x_1}{d}\times B_0+\dfrac {x_2}{d}\times B_1+\dfrac {x_3}{d}\times B_2+\dfrac {x_4}{d}\times B_3$ et $x_1+x_2+x_3+x_4=d$
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$\left[x\right]_e=\begin {pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end {pmatrix}$ la matrice colonne des coordonnées cartésiennes du vecteur $x$ dans la base $e$
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$\left[x\right]_B=\left[\vec {PQ}\right]_B=\begin {pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end {pmatrix}$ la matrice colonne des coordonnées barycentriques du vecteur
$x$ dans le repère barycentrique $B$

Alors $x_1+x_2+x_3+x_4=d$ et on vérifie
$\left[x\right]_B=\left[\vec {PQ}\right]_B=\left[O\right]_B+\left[Q\right]_B-\left[P\right]_B$

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$\left[H\right]_R=\begin {pmatrix}h_1\\h_2\\h_3\\h_4\end {pmatrix}$ la matrice colonne des coefficients cartésiens (à coefficient multiplicatif non nul près) d'une équation cartésienne de l'hyperplan $H$ dans le repère cartésien $R$

de telle sorte que si $X$ est un point de cet hyperplan $H$ qui est défini par $\left[X\right]_R=\begin {pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end {pmatrix}$ 

Alors $h_1+h_2x_1+h_3x_2+h_4x_3=0$

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$\left[H\right]_B=\begin {pmatrix}h_1\\h_2\\h_3\\h_4\end {pmatrix}$ la matrice colonne des coefficients barycentriques (à coefficient multiplicatif non nul près) d'une équation barycentrique de l'hyperplan $H$ dans le repère barycentrique $B$

de telle sorte que si $X$ est un point de cet hyperplan $H$ qui est défini par $\left[X\right]_B=\begin {pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end {pmatrix}$ 

où donc $x_1+x_2+x_3+x_4=d$ (i.e la somme des coordonnées barycentriques du point X) Alors $h_1x_1+h_2x_2+h_3x_3+h_4x_4=0$

Énoncé

Dans le contexte énoncé au début

Soit $E=\left(O_E,e\right) $ un repère cartésien donc d'origine $O_E$ et de base $e$

$A=\left(A_0,A_1,A_2,A_3\right)$ et $B=\left(B_0,B_1,B_2,B_3\right)$ deux repères barycentriques

$H$ un hyperplan afffine engendré par les trois points $A_0,A_1,A_2$

Les données du problème sont les suivantes:

$\left[A_0\right]_E=\begin {pmatrix}6\\-7\\5\end {pmatrix},\left[A_1\right]_E=\begin {pmatrix}5\\-10\\12\end {pmatrix},\left[A_2\right]_E=\begin {pmatrix}1\\-23\\42\end {pmatrix},\left[A_3\right]_E=\begin {pmatrix}3\\-18\\31\end {pmatrix}$

$\left[B_0\right]_E=\begin {pmatrix}-1\\2\\3\end {pmatrix},\left[B_1\right]_E=\begin {pmatrix}34\\13\\-4\end {pmatrix},\left[B_2\right]_E=\begin {pmatrix}-21\\-7\\8\end {pmatrix},\left[B_3\right]_E=\begin {pmatrix}-4\\0\\4\end {pmatrix}$

  

Questions:

1)On recherche les coefficients cartésiens (à coefficient multiplicatif non nul près) d'une équation cartésienne de l'hyperplan affine $H$ dans le repère cartésien $E$

2)On recherche les coefficients barycentriques (à coefficient multiplicatif non nul près) d'une équation barycentrique de l'hyperplan affine $H$ dans le repère barycentrique $B$

3)Montrer que le point $M$ tel que $\left[M\right]_E=\begin {pmatrix}344\\1096\\-2539\end {pmatrix}$ appartient à l'hyperplan affine $H$ à partir de ses coordonnées barycentriques normalisées par rapport au repère barycentrique $A$

4)Vérifiez que ce point $M$ appartient à l'hyperplan affine $H$ avec les deux équations cartésiennes et barycentriques

Remarque : Les solutions seront données sous la forme des matrices colonnes $\left[H\right]_E$ et $\left[H\right]_B$

 

Solution de la question 1)

On considère le repère cartésien $F=\left(A_0,f\right)$ avec $f=\left(f_1,f_2,f_3\right)$ selon $f_i=A_i-A_0$

$\left[f_1\right]_e=\begin {pmatrix}-1\\-3\\7\end {pmatrix},\left[f_2\right]_e=\begin {pmatrix}-5\\-16\\37\end {pmatrix},\left[f_3\right]_e=\begin {pmatrix}-3\\-11\\26\end {pmatrix}$

On obtient les matrices de passage

$P_{ef}=\begin {pmatrix}-1&-5&-3\\-3&-16&-11\\7&37&26\end {pmatrix}$ et $P_{fe}=\begin {pmatrix}-9&19&7\\1&-5&-2\\1&2&1\end {pmatrix}$  

Alors $\left[H\right]_A=\begin {pmatrix}0\\0\\0\\1\end {pmatrix}$ résultat à coefficient multiplicatif non nul près

Alors $\left[H\right]_F=\begin {pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end {pmatrix}\times \left[H\right]_A$ 

$-\left(\begin {pmatrix}1\\0\\0\\0\end {pmatrix}\times \begin {pmatrix}1&0&0&0\end {pmatrix}\times \left[H\right]_A \times \begin {pmatrix}1&0&0&0\end {pmatrix}\right.$

$+\begin {pmatrix}0\\1\\0\\0\end {pmatrix}\times \begin {pmatrix}1&0&0&0\end {pmatrix}\times \left[H\right]_A \times \begin {pmatrix}0&1&0&0\end {pmatrix}$

$+\begin {pmatrix}0\\0\\1\\0\end {pmatrix}\times \begin {pmatrix}1&0&0&0\end {pmatrix}\times \left[H\right]_A \times \begin {pmatrix}0&0&1&0\end {pmatrix}$

$+\left.\begin {pmatrix}0\\0\\0\\1\end {pmatrix}\times \begin {pmatrix}1&0&0&0\end {pmatrix}\times \left[H\right]_A \times \begin {pmatrix}0&0&0&1\end {pmatrix}\right)\times \begin {pmatrix}-1\\1\\1\\1\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}0\\0\\0\\1\end {pmatrix}$

résultat à coefficient multiplicatif non nul près

Alors $\left[H\right]_E=\begin {pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end {pmatrix}\times $

$\left(\left(\begin {pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end {pmatrix}-\begin {pmatrix}0\\0\\0\\1\end {pmatrix}\times ^t\left[A_0\right]_E\right)\times ^tP_{fe}\times \begin {pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end {pmatrix}+\begin {pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end {pmatrix}\right)\times $

$\begin {pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end {pmatrix}\times \left[H\right]_F=\begin {pmatrix}3\\1\\2\\1\end {pmatrix}$ solution à coefficient multiplicatif non nul près

Solution de la question 2)

On considère le repère cartésien $G=\left(B_0,g\right)$ avec $g=\left(g_1,g_2,g_3\right)$ selon $g_i=B_i-B_0$

$\left[g_1\right]_e=\begin {pmatrix}35\\11\\-7\end {pmatrix},\left[g_2\right]_e=\begin {pmatrix}-20\\-9\\5\end {pmatrix},\left[g_3\right]_e=\begin {pmatrix}-3\\-2\\1\end {pmatrix}$

On obtient les matrices de passage

$P_{eg}=\begin {pmatrix}35&-20&-3\\11&-9&-2\\-7&5&1\end {pmatrix}$ et $P_{ge}=\begin {pmatrix}-1&-5&-13\\-3&-14&-37\\8&35&95\end {pmatrix}$  

Alors $\left[O_E\right]_G=P_{ge}\times \left(\left[O_E\right]_E-\left[B_0\right]_E\right)=-P_{ge}\times \left[B_0\right]_E$

Alors $\left[H\right]_G=\begin {pmatrix}0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end {pmatrix}\times $

$\left(\left(\begin {pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end {pmatrix}-\begin {pmatrix}0\\0\\0\\1\end {pmatrix}\times ^t\left[O_E\right]_G\right)\times ^tP_{eg}\times \begin {pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end {pmatrix}+\begin {pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end {pmatrix}\right)\times $

$\begin {pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end {pmatrix}\times \left[H\right]_E=\begin {pmatrix}9\\50\\-33\\-6\end {pmatrix}$ résultat à coefficient multiplicatif non nul près

Alors $\left[H\right]_B=\begin {pmatrix}0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end {pmatrix}\times \left[H\right]_G$ 

$+\left(\begin {pmatrix}1\\0\\0\\0\end {pmatrix}\times \begin {pmatrix}1&0&0&0\end {pmatrix}\times \left[H\right]_G \times \begin {pmatrix}1&0&0&0\end {pmatrix}\right.$

$+\begin {pmatrix}0\\1\\0\\0\end {pmatrix}\times \begin {pmatrix}1&0&0&0\end {pmatrix}\times \left[H\right]_G \times \begin {pmatrix}0&1&0&0\end {pmatrix}$

$+\begin {pmatrix}0\\0\\1\\0\end {pmatrix}\times \begin {pmatrix}1&0&0&0\end {pmatrix}\times \left[H\right]_G \times \begin {pmatrix}0&0&1&0\end {pmatrix}$

$+\left.\begin {pmatrix}0\\0\\0\\1\end {pmatrix}\times \begin {pmatrix}1&0&0&0\end {pmatrix}\times \left[H\right]_G \times \begin {pmatrix}0&0&0&1\end {pmatrix}\right)\times \begin {pmatrix}1\\1\\1\\1\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}9\\59\\-24\\3\end {pmatrix}$

solution à coefficient multiplicatif non nul près

Solution de la question 3)

$det\left(P_{ef}\right)=1$ est la somme des coordonnées barycentriques d'un point ou d'un vecteur par rapport au repère barycentrique $A$

ces coordonnées sont donc déjà normalisées 

On dispose du point $M$ tel que $\left[M\right]_E=\begin {pmatrix}344\\1096\\-2539\end {pmatrix}$ 

$\left[M\right]_F=P_{fe}\left(\left[M\right]_E-\left[A_0\right]_E\right)=\begin {pmatrix}107\\-89\\0\end {pmatrix}$ 

$\left[M\right]_A=\begin {pmatrix}1\\0\\0\\0\end {pmatrix}+ \begin {pmatrix}-1&-1&-1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end {pmatrix}\times \left[M\right]_F =\begin {pmatrix}-17\\107\\-89\\0\end {pmatrix}$ 

On vérifie donc $-17+107-89=1$ 

$\left[M\right]_E=-17\times \left[A_0\right]_E+107 \times \left[A_1\right]_E-89\times \left[A_2\right]_E$

$M $ est donc un point de l'hyperplan affine $H$

Solution de la question 4)

On va poser $d=det\left(P_{eg}\right)=-1$ est la somme des coordonnées barycentriques d'un point ou d'un vecteur par rapport au repère barycentrique $B$

$\left[M\right]_G=P_{ge}\left(\left[M\right]_E-\left[B_0\right]_E\right)=\begin {pmatrix}27231\\77703\\-200440\end {pmatrix}$ 

$\left[M\right]_B=\begin {pmatrix}d\\0\\0\\0\end {pmatrix}+ \begin {pmatrix}-d&-d&-d\\d&0&0\\0&d&0\\0&0&d\end {pmatrix}\times \left[M\right]_G =\begin {pmatrix} -95507\\ -27231 \\ -77703 \\ 200440 \end {pmatrix}$ 

On vérifie donc $-95507-27231-77703+200440=-1$ car $d=-1$ 

$\left[M\right]_E=\dfrac {-95507}{-1}\times \left[B_0\right]_E+\dfrac {-27231}{-1} \times \left[B_1\right]_E+\dfrac {-77703}{-1}\times \left[B_2\right]_E+\dfrac {200440}{-1}\times \left[B_3\right]_E$

On montre que $M$ est un point de l'hyperplan par l'égalité définie par l'équation barycentrique

$9\times \left(-95507\right)+59\times \left(-27231\right)-24\times \left(-77703\right)+3\times \left(200440\right)=0$

Puisque  $\left[H\right]_B=\begin {pmatrix}9\\59\\-24\\3\end {pmatrix}$ et $\left[M\right]_B=\begin {pmatrix} -95507\\ -27231 \\ -77703 \\ 200440 \end {pmatrix}$