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Transformée de Fourier

Modifié (11 Sep) dans Analyse
Bonjour,
Pour $f\in L^1(\Bbb R)$ , définissons sa transformée de Fourier par $\widehat{f}(\xi)=\int_{\Bbb R}f(x)e^{-ix\xi} dx$.
Supposons que  $$\int_{\Bbb R}\int_{\Bbb R}|\widehat{f}(\xi)f(x)|^2e^{2|x\xi|} d\xi dx<\infty.$$
Pourquoui si $f(x)=P(x) e^{-t x^2}$  avec $t>0$ et $P$ est un polynôme alors 
 $P=0$.
Merci d'avance.

Réponses

  • Si $t>1/2$ et $P(x)=1$ on a un contre exemple. Erreur d'enonce?
  • Voir le Pdf page 40: Théorème 4.5.1 et sa démonstration.
  • Modifié (11 Sep)
    @P2 peux-tu montrer tes calculs ? 
    edit @mathspe le théorème que tu cites, te démontre ce que tu veux. Tu cherches quoi de plus ?
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (11 Sep)
    Bonjour,
    Je n'ai pas l'impression que ton contre-exemple fonctionne @P.2.

    @mathspe : Si $f(x)=P(x) e^{-tx^2 }$ alors il existe un polynôme $Q$ tel que : $\forall \xi , \hat{f}\!(\xi )=Q(\xi )e^{-\xi ^2 /(4t)}$. Donc, en notant $s=\sqrt{2t}$, on a : \[\iint_{\mathbb{R}^2 } |f(x) \hat{f}\!(\xi )|^2 e^{2|x\xi |} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\xi = \iint_{\mathbb{R}^2 } |P(x)Q(\xi )|^2  e^{-(s|x|- s^{-1} |\xi |)^2 } \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\xi  = \iint_{\mathbb{R}^2 } |P(s^{-1} u)Q(sv)|^2  e^{-(|u|- |v|)^2 } \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\] Je te laisse terminer.
  • OK, je me suis trompe, merci.
  • Modifié (11 Sep)
    Merci pour vos interventions: 
    @Calli, oui c'est bon. En effet, on va obtenir $ \int_{\R^2} P(x,\xi) e^{-tx^2+2|x\xi|-\xi^2/(4t)} dxd\xi$ qui n'est pas intégrable car $tx^2+2|x\xi|-\xi^2/(4t)>0$.
    gebrane, oui le passage en question était sombre pour moi.
    @P.2, merci.
  • C'est une mauvaise justification @mathspe
  • Modifié (12 Sep)
    Bonjour@Calli.  L'intégrande   $P(x,\xi) e^{-tx^2+2|x\xi|-\xi^2/(4t)}$ n'est pas intégrable car par rapport à la mesure $dxd\xi$ car $-tx^2+2|x\xi|-\xi^2/(4t)>0$.(on peut passer par les cordonnées polaires).
  • Modifié (13 Sep)
    Sauf que c'est $\exp(-2tx^2+2|x\xi|-\xi^2/(2t))$ qui apparait dans l'intégrale double, pas $\exp(-tx^2+2|x\xi|-\xi^2/(4t))$.
  • Merci@Calli.
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