Partie non vide et convexe
Bonjour
Je bloque sur cet exercice. Je n'arrive pas à montrer que c'est non vide.
Je bloque sur cet exercice. Je n'arrive pas à montrer que c'est non vide.
Réponses
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C’est le plus dur. Soit $\delta>d(x,V)$. Que peux-tu dire de $\{v \in V \ \vert \ \Vert x-v\Vert \leq \delta\}$ ?
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Essaie déjà de comprendre ce qu'il se passe dans $\R^2.$ Prends $V$ une droite quelconque et $x$ un point hors de cette droite. Peux-tu dessiner l'ensemble dont-il est question dans l'énoncé ?
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Tu construis un élément à la bonne distance.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
Soit $x\in E$ fixé. Par définition de la borne inférieure, pour tout $n\in \N$, il existe $a_n\in V$ tel que $d(x,V)\leq d(x,a_n)\leq d(x,V)+\dfrac{1}{n}$. Donc la suite $(a_n)$est bornée, d'après le théorème de Bolzano-Weirstrass, il existe une suite extraite $(a_{\varphi(n)})$ qui converge vers un élément $a$. Puisque $V$ est de dimension finie il est fermé et donc $a\in V$ et vérifie $d(x,a)=d(x,V)$. En gros...
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@Amédé je n'ai rien compris.
Ce genre d'exercice de topologie difficile pour moi, je dois le faire seul pour le comprendre.
@Georges Abitbol. Soit $\delta > d(x,V)$.
Alors par caractérisation de la borne inférieure, il existe un élément $u$ dans l'ensemble $\{ ||x-v || \ | \ v \in V \}$ tel que $u < \delta$.
Je ne comprends pas le rapport avec l'ensemble $\{v \in V \ | \ ||x-v|| \leq \delta \}$...
@Cyrano. Le voici.
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Amédée t'a donné une solution parfaitement conforme au programme que tu suis. Fais donc un effort pour suivre le fil de son discours pas à pas puisque tu ne sais faire essentiellement que ça.
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Pratiquement @Amédé a donné la solution: On pose $d(x,V) =d_0$ l'inf de ...Il existe donc une suite $(a_n)$ de $V$ telle que $d(x,a_n)$ tend vers $d_0$ quand $n$ tend vers l'infini. Donc à partir d'un certain rang, on a$d(x,a_n)\leq d_0 + 1.$ La suite $(a_n)$ est donc bornée.. finir en utilisant les indications (V fermé...)
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Non.
cf définition.
The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic -
Espace normé n'existe pas sur google, je tombe que sur "espace vectoriel normé"...
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Ok j'ai compris la preuve d'Amédé, tout espace vectoriel de dimension finie est fermé. Jolie preuve.
Ici l'énoncé est faux, il manque espace vectoriel...
Je vais essayer de montrer la convexité.
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Encore n'importe quoi! Fais l'exercice et regarde comment tu rédiges.
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Tu dois bien disposer d'un cours quelconque... Regardes les propriétés d'une norme et demandes-toi dans quel cadre elles pourraient bien avoir du sens...
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Dans le dessin que tu as fait pour répondre à Cyrano, la droite verte est une droite vectorielle ??? Tu es sûr ?
Quel est le critère qui fait que cette droite n'est pas une droite vectorielle ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
"espaces normés" c'est un raccourci pour "espaces vectoriels normés". Dès qu'on parle de norme il y a implicitement un espace vectoriel sur lequel est définie cette norme...
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"sous-espace de dimension finie"
Mais non ce n'est pas forcément un espace vectoriel dont on parle... -
Je peux supposer que ce sont des sous-espaces vectoriels normés pour simplifier.
Montrons que $\Pi_V(x)$ est une partie convexe. Soit $\lambda \in [0,1]$ et $a,b \in \Pi_V(x)$.
Montrons que $\lambda a +(1-\lambda) b \in \Pi_V(x)$ c'est-à-dire que $||x-[\lambda a + (1- \lambda) b ] ||=d(x-[\lambda a + (1- \lambda) b ],V)$
Remarquons que $\lambda a + (1- \lambda) b \in V$ car $V$ est un sous-espace vectoriel.- Par définition de la borné inférieure, on a $||(x-[\lambda a + (1- \lambda) b ] || \geq d(x-[\lambda a + (1- \lambda) b ],V)$.
- Il reste à montrer que $d(x-[\lambda a + (1- \lambda) b ],V) \leq ||(x-[\lambda a + (1- \lambda) b ] |$. Je bloque sur cette dernière inégalité.
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C'est presque hilarant,et c'est normal que tu bloques sur le "il reste à démontrer que ... " carce deuxième est ni plus ni moins que le premier point ( qui est vrai par définition) donc c'est une trivialité. Mais surtout après avoir affirmé que $a\leq b$ et dire qu'il reste à montrer que $b \geq a $, cela montre vraiment que tu as des problèmes.La convexité c'est trivial !$ ||x- ( \lambda a +(1-\lambda) b)|| =||(\lambda(x -a) + (1-\lambda)(x- b)||\leq \lambda||(x -a|| +(1-\lambda) || (x- b)||= \lambda d_0 + (1-\lambda) d_0 =d_0$ c.q.f.d
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Bien vu, il fallait penser à cette astuce d'écriture !
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$\Pi_V(x)$
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Bonjour!
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