Croissance et continuité d'une fonction numérique

jc-marseille · September 2022

x dans [0,1] et f: [0,1] ⟼ R une fonction bornée et continue sur [0,1].

Soit φ : de [0,1] dans R et tq x ⟼ sup t∈[0,x] f(t) (c-à-d sup de f(t) pour t∈[0,x] - my interpretation)

1) Montrer que f est croissante.

2) Soit x0∈[0,1]x0∈[0,1]. Montrer que φ est continue en x0.

https://les-mathematiques.net/serveur_exos/exercices/41/628/

Le lien ci-dessus propose une démo, mais je ne comprends pas la 1ère question. Il me semble qu'il faudrait montrer que f est monotone pour pouvoir conclure sur la variation de f, et même si monotone, f peut être croissante, ou bien décroissante. help please !