Autour du cercle de Lester
Bonjour,
Voilà un problème posé par Ivan Pavlov sur la liste Euclid.
On connaît les points de Fermat:
Si $BCA', CAB', ABC'$ sont trois triangles équilatéraux extérieurs au triangle $ABC$, alors les droites $(AA'),(BB'),(CC')$ sont concourantes en $F_1$.
Si on prend les triangles équilatéraux recouvrant au moins partiellement $ABC$, on obtient le second point de Fermat $F_2$.
June Lester a alors montré en $1997$ que les quatre points $F_1,F_2,O,N$ ($O$ et $N$ sont centres des cercles circonscrit et d'Euler du triangle $ABC$) sont cocycliques sur un cercle appelé cercle de Lester du triangle $ABC$.
Soit alors $\Omega(\omega)$ le centre radical des cercles de Lester des triangles $BCI,CAI,ABI$ où $I$ est le centre du cercle inscrit dans le triangle $ABC$.
$X_{21}$ est le point de Schiffler (Intersection des droites d'Euler de $BCI,CAI,ABI$)
$X_{36}$ est l'inverse de $I$ par rapport au cercle circonscrit.
Enfin, la question, pour faire plaisir à Pappus qui aime les points alignés :
Montrer que $X_{21},X_{36},\Omega$ sont alignés.
Avec Morley inscrit, je trouve:
$x_{21}=\dfrac{2s_3(s_1^2s_2-2s_1s_3-s_2^2)}{(s_1s_2-s_3)(s_1s_2-4s_3)}, x_{36}=\dfrac{2s_3}{s_2}$
et $\omega=\dfrac{2s_3(-3s_1^5s_2s_3+s_1^4s_2^3+14s_1^3s_2^2s_3-4s_1^2s_2^4+8s_1^2s_2s_3^2-28s_1s_2^3s_3-32s_1s_3^3+6s_2^5+32s_2^2s_3^2)}{(s_1s_2-4s_3)(-3s_1^4s_2s_3+s_1^3s_2^3+6s_1^3s_3^2+9s_1^2s_2^2s_3-3s_1s_2^4-36s_1s_2s_3^2+6s_2^3s_3+32s_3^3)}$
Un déterminant nul montre alors l'alignement.
Cordialement,
Rescassol
Ci-joint une figure (les $3$ cercles de Lester ne sont pas concourants) et le fichier Géogébra (Pavlov01.pdf à renommer en Pavlov01.ggb)
Edit: $\Omega$ n'est pas dans l'ETC.
Ci-joint une figure (les $3$ cercles de Lester ne sont pas concourants) et le fichier Géogébra (Pavlov01.pdf à renommer en Pavlov01.ggb)
Edit: $\Omega$ n'est pas dans l'ETC.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
merci pour ce joli problème...
Le point oméga est-il répertorié chez ETC?
SI oui, sur quelles lignes centrales se trouve-t-il?
Merci pour ces précisions.
Sincèrement
Jean-Louis
Non, il n'est pas dans l'ETC, comme je l'ai écrit plus haut.
Cordialement,
Rescassol
merci Rescassol....
Les preuves synthétiques du cercle de Lester, du point de Schiffler et de l'inverse de I (relayées par des relations métriques) étant possibles, n'ayant aucune information sur le point oméga, il me semble qu'une approche synthétique de l'alignement soit vraiment difficile...A moins que...
Sincèrement
Jean-Louis
Sincèrement
Jean-Louis
pour le point de Schiffler
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol9.html
puis
Le point de Schiffler...
Sincèrement
Jean-Louis
pour l'inverse de I
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol50.html
puis
43. 1. Cercles coaxiaux Problème 1
Sincèrement
Jean-Louis