Le rang d'une somme de deux matrices

gebrane · September 2022

$\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}$

Dans un forum chinois, j'ai trouvé ceci: si A et B sont deux matrices carrés vérifiant $AB=BA=0$ et $A^2=A$ alors $\rg(A+B)=\rg(A)+\rg(B)$

La preuve est-elle évidente ?
Peut-on formuler une CNS ?

gai requin · September 2022

$A$ et $B$ sont simultanément diagonalisables avec $\mathrm{Spec}(A)\subset\{0,1\}$.
On en déduit cette formule du rang facilement.

Calli · September 2022

Bonsoir,
Pourquoi tu dis que B est diagonalisable ?

gebrane · September 2022

Ce que je sais si l'une des deux matrices admets que des valeurs propres simples et AB=BA alors A et B sont simultanément diagonalisables

gai requin · September 2022

@Calli : My bad !
Il existe $m,n\in\N$, $C\in M_n(K)$ et $P\in\mathrm{GL}_{m+n}(K)$ tels que $P^{-1}AP=\mathrm{Diag}(0_n,I_m)$ et $P^{-1}BP=\mathrm{Diag}(C,0_m)$.
D'où $\mathrm{rang}(A+B)=\mathrm{rang}(C)+m=\mathrm{rang}(B)+\mathrm{rang}(A)$.

Lars · September 2022

Bonsoir,

Ou alors en bricolant :

$\forall x,\ Ax=A(Ax+Bx)=(A+B)Ax \in im(A+B)$ d'où $im A\subset im(A+B)$ (1)

Correction à faire.

Si $y \in im A \cap im B$ alors $y$ s'écrit $y=Bx$ et comme $Ay=y, ABx=0$ alors $y=0$ d'où $ im A \cap im B =\{0\}$ (2)

Correction.

On a $(A+B)(I_n-A)=A+B-A^2-BA=B$ d'où $im B \subset im (A+B)$ et donc finalement d'après (1) (et l'inclusion triviale dans l'autre sens)

$im A + im B=im (A+B)$ (3)

La somme à gauche est directe d'après (2). Le résultat dérive alors de (3) par égalité des dimensions des membres de gauche et droite.

Calli · September 2022

@gai requin : 👍

gebrane · September 2022

Et si on remplace A²=A par rg(A²)=rg(A) ( c'est la question originale)

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/co/ddjxe4mx231c.jpg

MrJ · September 2022

De tête, il me semble que l’idée de gai requin marche encore en se plaçant dans une base adaptée à la décomposition $\mathbb{K}^n=\textrm{Ker}(A)\oplus \textrm{Im}(A)$.

Lars · September 2022

ERREUR A CORRIGER DANS LE MESSAGE PRÉCÉDENT.

https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2381140/#Comment_2381140

La preuve était incorrecte car il me manquait l'argument justifiant $im B \subset im(A+B)$ (1)

J'ai corrigé plus haut dans le cas $A=A^2$

Dans le cas $rg A=rg A^2$, on procède de la même façon.

Je ne donne que l'argument (ie la preuve de (1)) qui me manquait puisque Gebrane donne une preuve détaillée plus bas.

On suppose qu'on a déjà prouvé $im A\subset im(A+B)$ (2)

On a alors $(A+B)(I-A)-A(I-A)=B$ d'où $im B\subset im (A+B)+im(A)$ et donc d'après (2) $im B\subset im(A+B)$.

gebrane · September 2022

@Lars ta preuve ne contient pas d'erreurs . Demain si tu veux je vais la détailler

gebrane · September 2022

Lars a donné une preuve de ce lemme

Si A et B sont deux matrices carrées vérifiant $AB=BA$ et $\rg(A^2)=\rg(A)$ alors $\rg(A+B)=\rg(A)+\rg(B)$

puis il a eu un doute et il l'a effacée. Je trouve sa preuve correcte. Il démontre en plusieurs étapes que $im(A)\oplus im(B)=im(A+B)$
Sa rédaction était difficile à comprendre, je rédige proprement pour qu'un étudiant L1 comprenne sans problème

Etape 1, on montre que $im(A^2)=im(A)$ et $\ker(A^2)=\ker(A)$

On a trivialement $im(A^2)\subset im(A)$ et par hypothèse $\dim(im(A^2))=\dim(im(A))$, d'où $im(A^2)=im(A)$ et par le théorème du rang on a aussi $\ker(A^2)=\ker(A)$.

Etape 2, on montre que $im(A)\cap im(B)=\{0\}$^2

Soit $z\in im(A)\cap im(B)$ alors $z=Ax=By$, or $Az=A²x=ABy=0$, donc $x\in \ker(A^2)$ et d'après la première étape $\ker(A^2)=\ker(A)$, d'où $Ax=0$ c'est à dire $z=0$.

Etape 3, on montre que $im(A)\subset im(A+B)$

Soit $z\in im(A)$, alors $z\in im(A^2)$ d’après la première étape, donc $z=A(Ax)=A(Ax)+B(Ax)=(A+B)(Ax)$ donc $z\in im(A+B)$.

Etape 4, On déduit que $im(A)+im(B)\subset im(A+B)$

Soit $z\in im(A)+im(B)$, puisque $im(A)\subset im(A+B)$, alors $z=(A+B)x+By$, d'où $z=Ax+B(x+y)=A(x+y)+B(x+y)+A(-y)=(A+B)(x+y)+A(-y)$, or $im(A)\subset im(A+B)$, donc $z\in im(A+B)$.

Etape 5, on conclut

On a $im(A)+im(B)\subset im(A+B)$ et trivialement $im(A+B)\subset im(A)+im(B)$, d'où $im(A)+im(B)= im(A+B)$. Finalement $im(A)\oplus im(B)=im(A+B)$ et le lemme s'ensuit.

gebrane · September 2022

Bonjour @GaBuZoMeu , les hautes voltiges ont tous compris l'indication de @gai requin sauf gebrane. Tu sais que je fonctionne avec 12 volts. Peux-tu m'aider stp .

Lars · September 2022

Bonjour

Merci Gebrane pour la correction.

La "preuve" (en fait les deux) était bien incorrecte car il manquait un argument.

Nb : la preuve de gai requin donne également la somme directe.

GaBuZoMeu · September 2022

@gebrane, tu as montré $\mathrm{im}(A^2)=\mathrm{im}(A)$. Tu en déduis facilement $K^n=\mathrm{im}(A)\oplus\ker(A)$. Ces deux sous-espaces sont stables par $B$ puisque $A$ et $B$ commutent, et on a $B|_{\mathrm{im}(A)}=0$ puisque $BA=0$. Yapuka conclure.

gebrane · September 2022

Merci @GaBuZoMeu de venir à ma rescousse.
Je ne sais si on parle de la même chose, mon but est de comprendre cette assertion de @gai requin Il existe $m,n\in\N$, $\ C\in M_n(K)$ et $P\in\mathrm{GL}_{m+n}(K)$ tels que $P^{-1}AP=\mathrm{Diag}(0_n,I_m)$ et $P^{-1}BP=\mathrm{Diag}(C,0_m)$.

Est-ce que c'est un résultat ou un théorème que je ne connais pas (ou [que] j'ai dû l'oublier).
Si ton message a pour but de me l'expliquer, je m'y mets.

GaBuZoMeu · September 2022

La décomposition en somme directe et ce que j'ai raconté te donnent $P$ inversible telle que $P^{-1} A P=\mathrm{Diag}(0_{n-r},U)$ (avec $U$ inversible, mais c'est accessoire) et $P^{-1} B P=\mathrm{Diag}(C,0_r)$. Ce qui change par rapport à @gai requin , c'est que tu as changé l'énoncé de départ en remplaçant $A^2=A$ par $\mathrm{rg}(A^2)=\mathrm{rg}(A)$.

gebrane · September 2022

J'ai posé le problème avec A²=A et GR a donné une réponse que je n'ai pas compris.

Apres j'ai proposé la question originale du forum chinois c'est-à-dire avec rg(A²)=rg(A).
Mon but était de comprendre ce qu'a dit GR dans le cas A²=A. Dans ta réponse je te vois remplacer I de GR par U inversible ?

JLapin · September 2022

@gebrane

Dans le cas où $A^2=A$, tu disposes de la décomposition $K^n = \ker(A)\oplus ImA$ et aussi du fait que $Ax=x$ pour tout $x$ dans l'image de $A$.

D'où la première matrice diagonale bloc (en prenant n'importe quelle base associée à la décomposition précédemment écrite).

Par ailleurs, $AB = 0$ donc l'image de $B$ est incluse dans le noyau de $A$ ce qui fait que la matrice bloc obtenue avec la même matrice de changement de base aura sa deuxième ligne nulle.

Enfin, $BA = 0$ donc l'image de $A$ est incluse dans le noyau de $B$ et donc, la deuxième colonne de la matrice bloc évoquée supra est nulle.

J'espère que c'est à peu près clair...

gebrane · September 2022

Merci @JLapin c'est clair, je me demande pourquoi cette envie de compliquer lorsqu' on peut faire simple (surtout qu'on s'adresse à un analyste )
L'affaire est close .

GaBuZoMeu · September 2022

Je te laissais juste un peu de travail à faire par toi-même. Si tu n'en as pas envie, tant pis.

As-tu au moins compris que dans le cas général $\mathrm{rg}(A^2)=\mathrm{rg}(A)$, on a aussi $K^n=\mathrm{im}(A)\oplus\ker(A)$ ?

L'algèbre linéaire n'est-elle pas un outil indispensable, y compris pour l'analyste ?

gebrane · September 2022

Cette phrase je me demande pourquoi cette envie de compliquer lorsqu' on peut faire simple était adressé à GR et non pas à toi @GaBuZoMeu . Je n'ai pas le flair d'un "algebriste "pour s'avoir qu'il part de $K^n = \ker(A)\oplus \mathrm{im}\,A$
Oui je sais faire $K^n = \ker(A)\oplus \mathrm{im}\,A$.

GaBuZoMeu · September 2022

N'as-tu pas lu l'intervention de @MrJ ?

gebrane · September 2022

Son message a été modifié. Je ne sais pas ce que j'ai lu exactement.

gai requin · September 2022

@gebrane : C'est toi qui t'emmêles les pinceaux entre tes deux énoncés.
J'ai répondu au premier énoncé dans lequel $A$ est diagonalisable avec $\mathrm{Spec}(A)\subset\{0,1\}$.
On en déduit mon $P^{-1}BP$ en remarquant que les sous-espaces propres de $A$ sont stables par $B$.
Je ne suis donc pas parti de $K^n=\ker A\oplus\mathrm{Im}A$ !

gebrane · September 2022

Mon ami @gai requin je suis plus que surpris par ta réponse J'ai répondu au premier énoncé dans lequel A est diagonalisable .
Je me demande ce que je rate, l'énoncé était A et B sont deux matrices carrés vérifiant AB=BA=0 et A²=A
et si je comprends bien, tu déduis que la matrice A est diagonalisable ?