Nombres premiers entre eux dans un anneau principal
$\newcommand{pgcd}{\mathrm{pgcd}}$Bonsoir,
Soit $A$ un anneau principal et $a,b \in A$.
On a $aA+bA=\pgcd(a,b) A$. Si $\pgcd(a,b)$ est inversible, on dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Dans un corrigé, j'ai vu la remarque suivante que je n'arrive pas à démontrer.
Soient $x,y \in A$ des éléments non premiers entre eux. Il existe alors $\alpha$ irréductible qui divise ces deux éléments.
Soit $A$ un anneau principal et $a,b \in A$.
On a $aA+bA=\pgcd(a,b) A$. Si $\pgcd(a,b)$ est inversible, on dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Dans un corrigé, j'ai vu la remarque suivante que je n'arrive pas à démontrer.
Soient $x,y \in A$ des éléments non premiers entre eux. Il existe alors $\alpha$ irréductible qui divise ces deux éléments.
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Réponses
J'avais oublié ce résultat. C'est la factorisation en produits d'irréductibles.
Les idéaux maximaux ne sont pas abordés dans ce livre.
La démonstration de l'auteur est vraiment d'une limpidité étonnante, ça a l'air tellement facile.
Axiome du choix dépendant : Soit $R$ une relation binaire sur un ensemble $E$. Si pour tout $x\in E$, il existe $y\in E$ tel que $xRy$ alors pour tout $a\in E$ il existe une suite $x\in E^{\mathbb{N}}$ telle que $x_{0}=a$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $x_{n}Rx_{n+1}$.
Application: Soit $A$ un anneau noethérien (donc commutatif, unitaire, intègre et dans lequel toute suite croissante d'idéaux stationne). Alors tout élément non nul et non inversible de $A$ est un produit de facteurs irréductibles.
Preuve: Notons $E$ l'ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas produits d'irréductibles. On considère la relation binaire sur $E$ définie par $aRb\Longleftrightarrow aA\subset bA$ et $aA\ne bA$. Si $x\in E$ alors $x$ n'est pas irréductible et donc il existe $y$ et $z$ non inversibles tels que $x=yz$. Ainsi $xA\subset yA$ et si on avait $xA=yA$ alors on aurait $y\in xA$ et comme $x$ non nul, par intégrité on aurait, $1\in zA$ et $z$ serait inversible : absurde. Donc $xA\ne yA$ et donc $xRy$.
Soit $a_{0}\in A$ non nul et non inversible. Si, $a_{0}$ n'était pas produit de facteurs irréductibles, on aurait $a_{0}\in E$ et donc, par ACD, il existerait $x\in E^{\mathbb{N}}$ telle que $x_{0}=a_{0}$ et pour tout $n$, $x_{n}A$ strictement inclus dans $x_{n+1}A$ qui contredit que $A$ est noethérien. Donc $a_{0}\notin E$ et donc $a_{0}$ est produit de facteurs irréductibles.