Radical

don_juanes2 · September 2022

Bonjour

S'il vous plaît j'essaie de calculer le radical de Jacobson de Z/nZ pour n >1, y a un stade qui me bloque...

Les idéaux maximaux de Z/nZ on les connaît bien ; c'est les I = pZ/nZ (avec p premier et p | n ), j'obtiens une intersection de ses derniers puis je remplace le n par le produit de k nombres premiers naturels distincts 2 à 2 (th. fondamental de l'arithmétique).

À ce stade j'obtiens une intersection avec un produit en bas, je n'arrive pas trop à manipuler, je vois qu'il aura un PPCM...

Quelqu'un aura une idée s'il vous plaît ?

GaBuZoMeu · September 2022

Bonjour,

Tu as pourtant tous les éléments qu'il te faut. Les idéaux de $\Z/n\Z$ correspondant aux diviseurs de $n$. Quel diviseur de $n$ pour le radical de Jacobson ? Tu peux traiter des petis cas, comme $n=12, 36, 60 ...$

Poirot · September 2022

Ce qui te pose problème n'est pas clair ("intersection avec un produit en bas" ?). Tu sembles être arrivé à la conclusion que ton idéal de Jacobson est $$\bigcap_{p \mid n} p \mathbb Z/n \mathbb Z.$$ Il reste à trouver à quoi correspond cette intersection. Il y a effectivement un lien avec le PPCM des premiers $p$ divisant $n$ : quel est ce PPCM ? Le nom qu'on lui donne n'est pas sans rappeler pourquoi on parle du radical de Jacobson. ;-)

don_juanes2 · September 2022

Oui effectivement Poirot, je suis arrivé à l'égalité que vous avez écrit et j'ai remplacé le n par le produit de k nombre premiers ; c'est ce que je voulais dire en fait par "intersection avec produit en bas " (je m'excuse je me suis mal exprimé).

À ce stade que j'arrive pas à manipuler les calculs.

GaBuZoMeu · September 2022

Ne peux-tu pas répondre pour $n=12,36, 60$ ?

Quels sont les idéaux maximaux ? Quelle est dans chaque cas leur intersection ?

don_juanes2 · September 2022

Pour n= 12 on a : 2Z/12Z , 3Z/12Z l'intersection
c'est 6Z/12Z

Pour n= 36 on a : 2Z/36Z , 3Z/36Z l'intersection
c'est 6Z/36Z

Pour n=60 on a : 2Z/60Z , 3Z/60Z , 5Z/60Z l'intersection c'est 30Z/60Z

J'espère que je me suis pas trompé

GaBuZoMeu · September 2022

Bien. Si $n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ avec les $e_i\geq 1$, que se passe-t-il ?

don_juanes2 · September 2022

C'est là où je me suis bloqué quand je remplace le n en bas je trouve une intersection et un produit des p_i

GaBuZoMeu · September 2022

Que veux-tu dire ? Essaie de t'exprimer plus clairement !

La situation générale n'est pas différente des exemples que tu as traités.

Quels sont les idéaux maximaux ? Quelle est leur intersection ?

GaBuZoMeu · September 2022

Apparemment, @don_juanes2 , ton problème est que tu ne sais pas dire quels sont les nombres premiers $p$ qui divisent $n= p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ (décomposition en facteurs premiers de $n$) ?

Plutôt que de m'envoyer des messages privés, écris sur le fil en essayant d'être clair !

don_juanes2 · September 2022

Bonjour ,

Merci pour votre réponse , oui exactement c'est ça mon problème.

GaBuZoMeu · September 2022

Alors, revois les bases de l'arithmétique !

don_juanes2 · September 2022

Ne vous projetez pas dans une discussion dont vous avez pas les capacités/envie pour expliquer !
Merci.

GaBuZoMeu · September 2022

La décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers, c'est au programme de la classe de 5e !!!

Pour ta gouverne : un nombre premier $q$ divise $n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ (décomposition en facteurs premiers) si et seulement si $q$ est égal à l'un des $p_i$.

Je renouvelle mon conseil : revois les bases de l'arithmétique. S'attaquer au radical de Jacobson sans savoir cela, c'est mettre la charrue avant les boeufs.