Nombres premiers entre eux dans un anneau principal

Axiome du choix dépendant : Soit $R$ une relation binaire sur un ensemble $E$. Si pour tout $x\in E$, il existe $y\in E$ tel que $xRy$ alors pour tout $a\in E$ il existe une suite $x\in E^{\mathbb{N}}$ telle que $x_{0}=a$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ on a $x_{n}Rx_{n+1}$.

Application: Soit $A$ un anneau noethérien (donc commutatif, unitaire, intègre et dans lequel toute suite croissante d'idéaux stationne). Alors tout élément non nul et non inversible de $A$ est un produit de facteurs irréductibles.

Preuve: Notons $E$ l'ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas produits d'irréductibles. On considère la relation binaire sur $E$ définie par $aRb\Longleftrightarrow aA\subset bA$ et $aA\ne bA$. Si $x\in E$ alors $x$ n'est pas irréductible et donc il existe $y$ et $z$ non inversibles tels que $x=yz$. Ainsi $xA\subset yA$ et si on avait $xA=yA$ alors on aurait $y\in xA$ et comme $x$ non nul, par intégrité on aurait, $1\in zA$ et $z$ serait inversible : absurde. Donc $xA\ne yA$ et donc $xRy$.

Soit $a_{0}\in A$ non nul et non inversible. Si, $a_{0}$ n'était pas produit de facteurs irréductibles, on aurait $a_{0}\in E$ et donc, par ACD, il existerait $x\in E^{\mathbb{N}}$ telle que $x_{0}=a_{0}$ et pour tout $n$, $x_{n}A$ strictement inclus dans $x_{n+1}A$ qui contredit que $A$ est noethérien. Donc $a_{0}\notin E$ et donc $a_{0}$ est produit de facteurs irréductibles.