Anneau Z[j], quotient et isomorphisme — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Anneau Z[j], quotient et isomorphisme

Modifié (11 Sep) dans Algèbre
Bonsoir, 
Je n'ai pas compris la solution de la question $7.b$ je ne comprends pas qui est $p_{ \Z}$ et après je m'embrouille complètement avec les $p$.
D'ailleurs si on quotiente $\Z$ par $3 \Z$, on devrait utiliser la projection $p : \Z \rightarrow \Z / 3 \Z$ non ? 
Quand on quotiente le cours dit que $\bar{f} \circ p =f$ avec $p : \Z \rightarrow \Z / 3 \Z$.
Pour moi l'égalité $\bar{f} ( k)= p(k)$ n'a pas de sens ce n'est pas la bonne projection...
Bref, je suis perdu.


Réponses

  • Modifié (11 Sep)
    @OShine : en vertu de l'inclusion $\Z\subset\Z[j]$, $f$ n'est autre que la restriction de $p$ à $\Z$ ; ce que l'on écrit $f=p_{|\Z}$.
  • Modifié (12 Sep)
    Merci. Il y a une erreur de frappe, $f$ est une application à valeurs dans $A$ et non $A / \pi A$...
    Voici mon raisonnement.
    Pour la suite $f : \Z \rightarrow A$ peut se quotienter par l'idéal $I=3 \Z$ (les idéaux de $\Z$ sont de la forme $n \Z$). On a bien $I \subset \ker f$ car $3$ est multiple de $\pi$.
    Notons $p' : \Z \rightarrow \Z / 3 \Z$ la projection canonique. Le cours dit qu'il existe un morphisme d'anneaux injectif $\bar{f} : \Z / 3 \Z \rightarrow A$ tel que $\bar{f} \circ p' = f$.
    Soit $\boxed{\forall k \in \Z, \ \bar{f} \circ p' (k)= f(k) }$.
    Il n'y a a pas une erreur dans le corrigé ? Il est écrit $\bar{f} ( k)= p(k)$ mais le $p$ est la projection canonique de $\Z[j]$ sur $A$ !
    Je n'ai pas compris d'où sort cette égalité du corrigé. 
     Ou sinon il y a une subtilité que je n'ai pas comprise.
  • Modifié (12 Sep)
    J'ai compris finalement : $\forall k \in \Z, \ f(k)=p(k)$ (définition d'une restriction)
    Difficile cette question $7.b$, le reste de l'exercice est accessible.
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