Borne supérieure
Bonjour
Je commence le livre de Mr Rombaldi et j'aimerais démontrer les propriétés 2 et 3.
Dans la définition de borne supérieure, on dit soit $X$ une partie d'un corps $K$.
Mais ici ça veut dire quoi le $[0,1[$ dans $\Q$ ? Ca veut dire qu'on s'intéresse à $X'=[0,1[ \cap \Q$ avec comme corps $\Q$ ?
Soit $\varepsilon >0$. On cherche $x \in X'$ tel que $1- \varepsilon < x \leq 1$. Comme $x \leq 1$ est toujours vérifiée, on cherche un rationnel tel que $x > 1 - \varepsilon$.
Posons $x= \dfrac{p}{q}$ on veut donc $p > q (1- \varepsilon)$
Mais j'ai l'impression de tourner en rond.
Je commence le livre de Mr Rombaldi et j'aimerais démontrer les propriétés 2 et 3.
Dans la définition de borne supérieure, on dit soit $X$ une partie d'un corps $K$.
Mais ici ça veut dire quoi le $[0,1[$ dans $\Q$ ? Ca veut dire qu'on s'intéresse à $X'=[0,1[ \cap \Q$ avec comme corps $\Q$ ?
Soit $\varepsilon >0$. On cherche $x \in X'$ tel que $1- \varepsilon < x \leq 1$. Comme $x \leq 1$ est toujours vérifiée, on cherche un rationnel tel que $x > 1 - \varepsilon$.
Posons $x= \dfrac{p}{q}$ on veut donc $p > q (1- \varepsilon)$
Mais j'ai l'impression de tourner en rond.
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Réponses
@bd2017 j'essaie d'aborde de faire les 2 et 3. J'ai fait une démonstration pour la $3$ je ne suis pas sûr à 100%.
@JLapin $\dfrac{a+b}{2}$.
Soit $\varepsilon >0$. On cherche un rationnel dans $[0,1[$ tel que $x > 1 - \varepsilon$.
Il suffit de prendre $x= \dfrac{ 1 - \varepsilon + 1 }{2}$ soit $x=\dfrac{2 - \varepsilon}{2}$
Montrons que $x> 1- \varepsilon$. On a $x-1+ \varepsilon = \dfrac{2 - \varepsilon -2 + 2 \varepsilon}{2} $
Donc $x-1+ \varepsilon = \varepsilon /2 >0$.
3) Supposons par l'absurde que $X'=[0,+\infty[ \cap \Q$ admet un plus grand élément $x$. Alors $2x > x$ serait dans $X'$ ce qui est absurde.
Par l'absurde, si $X'$ admet une borne supérieure $M$ alors $\forall \varepsilon >0 \ \exists x \in X' \ \ M - \varepsilon < x \leq M$.
Donc $M=0$ est exclu sinon la borne supérieure serait atteinte, supposons $M>0$, prenons $\varepsilon = M/2$ ce qui donne $M/2 < x \leq M$.
Mais alors $2x \in X'$ et $2x > M$ ce qui contredit le fait que $\forall x \in X' \ \ x \leq M$.
Juste une question
Vous parlez de Monsieur Jean-Etienne Rombaldi?
Mais je ne vois pas qui il est car il n'est pas sur wikipédia (et c'est bien dommage car c'est un professeur d'université et pas le premier venu)
Du coup il faut chercher un peu et j'ai trouvé ça:
Professeur des universités. - Enseigne à l'Institut Fournier, Unité de formation et de recherche (UFR) de mathématiques, Université Joseph Fourier, Grenoble (en 2012). - Agrégé de mathématiques. - Professeur à l'Université d'Aix-Marseille 3 (en 2005)
Son site web
Site de Jean-Etienne ROMBALDI - NATH & MATIQUES (free.fr)
Ce lien me semble aussi pertinent. http://www-fourier.univ-grenoble-alpes.fr/~champet/AgregInterne/AgregInterne.html
Jean-éric.
Soit $A$ une partie non vide de $\N$.
Supposons qu'elle n'admette pas de plus petit élément. Montrons alors que $A$ est vide.
Notons $P(n)$ la propriété : pour tout $i \leq n \ \ i \notin A$.
Avec la photo du matou perdu dans les formules de maths.
J'ai aussi vu les travaux dont vous parlez
C'est très beau
On a $\min(a,b)= \dfrac{a+b}{2} - \dfrac{|b-a|}{2}$ et $\max(a,b)= \dfrac{a+b}{2} + \dfrac{|b-a|}{2}$.
Je ne comprends pas trop la remarque suivante.
On peut retenir ces égalités en remarquant que $\min(a,b)$ est la borne inférieure de l'intervalle d'extrémités $a,b$ et $\max(a,b)$ est la borne supérieure.
Mais je ne comprends pas ce qui est faux dans 2).
Si on veut arriver à l'inf, on retranche la moitié de l'écart entre $a$ et $b$ et on arrive à $a$.
Exemple $[1,3[$. On a $\max(a,b)=\dfrac{3+1}{2} + \dfrac{3-1}{2} = 3$ et la borne supérieure est bien égale à $3$.
On a $\min(a,b)=\dfrac{3+1}{2} - \dfrac{3-1}{2} = 1$ et la borne inférieure est bien égale à $1$.
Ta définition avec $\varepsilon$ est équivalente à celle-ci lorsqu'on est dans $\R$.
PS. Bon même avec $\Q$ tu pourrais utiliser la définition avec $\varepsilon$ mais il faudrait dire qu $\varepsilon$ est dans $\Q$... c'est moche.
Du coup, je fais sans cette propriété.
2) Montrons que $1$ est la borne supérieure de $[0,1[$ dans $\Q$.
Il faut montrer que $1$ est le plus petit des majorants.
On a $\forall x \in \Q \cap [0,1[ ,\ \ x \leq 1$.
Par l'absurde, si $1-y$ est un majorant de $ \Q \cap [0,1[$ avec $y \in \Q \cap [0,1 [$ aussi petit que l'on veut alors $\dfrac{2-y}{2}$ qui est un rationnel est dans $ \Q \cap [0,1[$ et $1- y/2 $ est strictement supérieur au majorant.
Donc $1$ est le plus petit des majorants.
3) Si $[0,+\infty[ \cap \Q$ admet une borne supérieure $M$, alors $M$ est le plus petit des majorants.
On a donc $\forall x \in [0,+\infty[ \cap \Q ,\ x \leq M$. Mais $M \in \Q^{+*}$ donc $2 M \in \Q^{+*}$ avec $2M \leq M$ ce qui est absurde.