Transformée de Fourier

mathspe · September 2022

Bonjour,

Pour $f\in L^1(\Bbb R)$ , définissons sa transformée de Fourier par $\widehat{f}(\xi)=\int_{\Bbb R}f(x)e^{-ix\xi} dx$.

Supposons que $$\int_{\Bbb R}\int_{\Bbb R}|\widehat{f}(\xi)f(x)|^2e^{2|x\xi|} d\xi dx<\infty.$$

Pourquoui si $f(x)=P(x) e^{-t x^2}$ avec $t>0$ et $P$ est un polynôme alors

$P=0$.

Merci d'avance.

P.2 · September 2022

Si $t>1/2$ et $P(x)=1$ on a un contre exemple. Erreur d'enonce?

mathspe · September 2022

Voir le Pdf page 40: Théorème 4.5.1 et sa démonstration.

gebrane · September 2022

@P2 peux-tu montrer tes calculs ?
edit @mathspe le théorème que tu cites, te démontre ce que tu veux. Tu cherches quoi de plus ?

Calli · September 2022

Bonjour,

Je n'ai pas l'impression que ton contre-exemple fonctionne @P.2.

@mathspe : Si $f(x)=P(x) e^{-tx^2 }$ alors il existe un polynôme $Q$ tel que : $\forall \xi , \hat{f}\!(\xi )=Q(\xi )e^{-\xi ^2 /(4t)}$. Donc, en notant $s=\sqrt{2t}$, on a : \[\iint_{\mathbb{R}^2 } |f(x) \hat{f}\!(\xi )|^2 e^{2|x\xi |} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\xi = \iint_{\mathbb{R}^2 } |P(x)Q(\xi )|^2 e^{-(s|x|- s^{-1} |\xi |)^2 } \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\xi = \iint_{\mathbb{R}^2 } |P(s^{-1} u)Q(sv)|^2 e^{-(|u|- |v|)^2 } \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\] Je te laisse terminer.

P.2 · September 2022

OK, je me suis trompe, merci.

mathspe · September 2022

Merci pour vos interventions:
@Calli, oui c'est bon. En effet, on va obtenir $ \int_{\R^2} P(x,\xi) e^{-tx^2+2|x\xi|-\xi^2/(4t)} dxd\xi$ qui n'est pas intégrable car $tx^2+2|x\xi|-\xi^2/(4t)>0$.
gebrane, oui le passage en question était sombre pour moi.
@P.2, merci.

Calli · September 2022

C'est une mauvaise justification @mathspe.

mathspe · September 2022

Bonjour@Calli. L'intégrande $P(x,\xi) e^{-tx^2+2|x\xi|-\xi^2/(4t)}$ n'est pas intégrable car par rapport à la mesure $dxd\xi$ car $-tx^2+2|x\xi|-\xi^2/(4t)>0$.(on peut passer par les cordonnées polaires).