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Intégrale dimanche 4 septembre

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Réponses

  • Oui mais la seule chose embêtante à faire était cette décomposition en éléments simples, le reste ne m'a pas posé de problème.
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Pour calculer $I(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin^3x}{x^3}\dfrac{\ln(\cos^2x)}{(1+a\cos^2x)}dx$

    j'ai d'abord obtenu $I(a)=\dfrac12\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1+\cos^2t}{1+a\cos^2t}\ln(\cos^2t)dt$

    puis $I(a)=-\dfrac12\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2+u^2}{1+a+u^2}\dfrac{\ln(1+u^2)}{1+u^2}du$ par $u=\tan t$.

    J'ai ensuite introduit $g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2+u^2}{1+a+u^2}\dfrac{\ln(1+x^2u^2)}{1+u^2}du$

    puis j'ai calculé $g'(x)=2x\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{u^2(2+u^2)}{(1+a+u^2)(1+x^2u^2)(1+u^2)}du$

    C'est pour décomposer en éléments simples cette fraction que j'ai utilisé un logiciel.
  • Mais comment as-obtenu la première égalité ?. Je suis curieux de voir que tu n'as pas utilisé  l'égalité mentionnée dans mon message d'avant.
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (11 Sep)
    PS.
    Je ne me suis pas fatigué à changer grand chose dans le code Latex puisque Wolfy comprend souvent le Latex. Wolfy donne une primitive dans une ligne sous le résultat présenté comme résultat principal.
  • FDP, donc tu fais toujours confiance aux primitives suggérées par wolphi  
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    Citation :  Je suis Jack 
  • @Gebrane: Je vérifie numériquement les calculs et si je suis en forme je vérifie avec Maxima que c'est bien une primitive (en dérivant, Maxima n'est pas aussi performant que Wolfy pour calculer une primitive).
  • C'est Wolfy ou Wolfie?
  • gebrane
    pour obtenir la première égalité j'ai utilisé le découpage de l'intégrale et $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(x + \pi n)^3}=\dfrac{1+\cos^2(x)}{2\sin^3(x)}$.

    Fin de partie
    wolframalpha donne un résultat avec des complexes pour l'intégrale de 0 à l'infini.
    Le résultat qu'il donne pour une primitive revient à donner la décomposition en éléments simples puisque c'est une combinaison linéaire d'arctangentes.
  • @Jandri: Sauf que le résultat donné est disponible après dix secondes de manipulation (je parle de la primitive pas du calcul de l'intégrale définie)
  • Modifié (11 Sep)
    @jandri on ne se comprend plus. Tu as dit
    le reste ne m'a pas posé de problème.
    Je voulais savoir si tu as utilisé le logiciel une fois ou deux fois ! Si c'est une fois,  comment tu as démontré  $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(x + \pi n)^3}=\dfrac{1+\cos^2(x)}{2\sin^3(x)}$ ?  ( j'aime tes preuves)

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    Citation :  Je suis Jack 
  • Pour démontrer $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(x + n\pi )^3}=\dfrac{1+\cos^2(x)}{2\sin^3(x)}$ j'ai dérivé deux fois $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{x + n\pi }=\dfrac{1}{\sin x}$.

    Cette égalité se démontre rapidement en utilisant les séries de Fourier.

    En utilisant $\dfrac{1}{\sin x}=\mathrm{cot}(x/2)-\mathrm{cot}(x)$ on peut aussi la déduire de $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{x + n\pi }=\mathrm{cot} (x)$ .

    On peut démontrer cette dernière égalité sans les séries de Fourier en considérant $g(x)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{x + n\pi }-\mathrm{cot} (x)$ qui se prolonge en une fonction $\pi$-périodique et continue sur $\R$.

    On montre que $g(x/2)+g((x+\pi)/2)=2g(x)$ puis que $||g||_{\infty}=0$.
  • OK comme JLT
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    Citation :  Je suis Jack 
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