Intégrale dimanche 4 septembre

jandri · September 2022

Oui mais la seule chose embêtante à faire était cette décomposition en éléments simples, le reste ne m'a pas posé de problème.

gebrane · September 2022

Jandri Comment tu as démontré https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2379691/#Comment_2379691

jandri · September 2022

Pour calculer $I(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin^3x}{x^3}\dfrac{\ln(\cos^2x)}{(1+a\cos^2x)}dx$

j'ai d'abord obtenu $I(a)=\dfrac12\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1+\cos^2t}{1+a\cos^2t}\ln(\cos^2t)dt$

puis $I(a)=-\dfrac12\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2+u^2}{1+a+u^2}\dfrac{\ln(1+u^2)}{1+u^2}du$ par $u=\tan t$.

J'ai ensuite introduit $g(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{2+u^2}{1+a+u^2}\dfrac{\ln(1+x^2u^2)}{1+u^2}du$

puis j'ai calculé $g'(x)=2x\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{u^2(2+u^2)}{(1+a+u^2)(1+x^2u^2)(1+u^2)}du$

C'est pour décomposer en éléments simples cette fraction que j'ai utilisé un logiciel.

gebrane · September 2022

Mais comment as-obtenu la première égalité ?. Je suis curieux de voir que tu n'as pas utilisé l'égalité mentionnée dans mon message d'avant.

Fin de partie · September 2022

@Jandri: Est-ce que cela sert vraiment à quelque chose de faire cette décomposition quand on a un assistant numérique qui est capable de calculer une primitive (en u) de toute l'expression?

PS.
Je ne me suis pas fatigué à changer grand chose dans le code Latex puisque Wolfy comprend souvent le Latex. Wolfy donne une primitive dans une ligne sous le résultat présenté comme résultat principal.

gebrane · September 2022

FDP, donc tu fais toujours confiance aux primitives suggérées par wolphi

Fin de partie · September 2022

@Gebrane: Je vérifie numériquement les calculs et si je suis en forme je vérifie avec Maxima que c'est bien une primitive (en dérivant, Maxima n'est pas aussi performant que Wolfy pour calculer une primitive).

Boécien · September 2022

C'est Wolfy ou Wolfie?

jandri · September 2022

gebrane
pour obtenir la première égalité j'ai utilisé le découpage de l'intégrale et $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(x + \pi n)^3}=\dfrac{1+\cos^2(x)}{2\sin^3(x)}$.

Fin de partie
wolframalpha donne un résultat avec des complexes pour l'intégrale de 0 à l'infini.
Le résultat qu'il donne pour une primitive revient à donner la décomposition en éléments simples puisque c'est une combinaison linéaire d'arctangentes.

Fin de partie · September 2022

@Jandri: Sauf que le résultat donné est disponible après dix secondes de manipulation (je parle de la primitive pas du calcul de l'intégrale définie)

gebrane · September 2022

@jandri on ne se comprend plus. Tu as dit
le reste ne m'a pas posé de problème.

Je voulais savoir si tu as utilisé le logiciel une fois ou deux fois ! Si c'est une fois, comment tu as démontré $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(x + \pi n)^3}=\dfrac{1+\cos^2(x)}{2\sin^3(x)}$ ? ( j'aime tes preuves)

jandri · September 2022

Pour démontrer $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(x + n\pi )^3}=\dfrac{1+\cos^2(x)}{2\sin^3(x)}$ j'ai dérivé deux fois $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{x + n\pi }=\dfrac{1}{\sin x}$.

Cette égalité se démontre rapidement en utilisant les séries de Fourier.

En utilisant $\dfrac{1}{\sin x}=\mathrm{cot}(x/2)-\mathrm{cot}(x)$ on peut aussi la déduire de $\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{x + n\pi }=\mathrm{cot} (x)$ .

On peut démontrer cette dernière égalité sans les séries de Fourier en considérant $g(x)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{x + n\pi }-\mathrm{cot} (x)$ qui se prolonge en une fonction $\pi$-périodique et continue sur $\R$.

On montre que $g(x/2)+g((x+\pi)/2)=2g(x)$ puis que $||g||_{\infty}=0$.

gebrane · September 2022

OK comme JLT

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