Définition de la tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt
Bonjour à toutes et à tous.
Je me pose une petite question sur la définition de la tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt.
Considérons un espace probabilisé filtré $( \Omega ; \mathcal{F} ; ( \mathcal{F}_{n} )_{n \in \mathbb{N}} ; \mathbb{P} )$ ; on note $\mathcal{F}_{\infty} = \sigma\left( \displaystyle{\bigcup_{n \in \mathbb{B}} \mathcal{F}_{n}} \right)$. Considérons un temps d'arrêt $T$ pour la filtration $( \mathcal{F}_{n} )_{n \in \mathbb{N}}$.
Pour certains auteurs, la tribu des événements antérieurs à $T$ est $\mathcal{F}_{T} = \{ A \in \mathcal{F}_{\infty} \mid \forall n \in \mathbb{N},\ A \cap \{ T \leq n \} \in \mathcal{F}_{n} \}$. Pour d'autres auteurs, elle est définie pat $\mathcal{F}_{T} = \{ A \in \mathcal{F} \mid \forall n \in \mathbb{N},\ A \cap \{ T \leq n \} \in \mathcal{F}_{n} \}$. Je me demandais laquelle est la bonne.
Notons $\mathcal{F}_{T}^{( \infty )} = \{ A \in \mathcal{F}_{\infty} \mid \forall n \in \mathbb{N},\ A \cap \{ T \leq n \} \in \mathcal{F}_{n} \}$. $\mathcal{F}_{\infty} \subset \mathcal{F}$, donc $\mathcal{F}_{T}^{( \infty )} \subset \mathcal{F}_{T}$. L'inclusion réciproque est-elle vraie ? J'ai essayé de calculer « à la main » $\mathcal{F}_{T}^{( \infty )}$ et $\mathcal{F}_{T}$ mais ça devient vite épouvantable à écrire.
Quelle que soit la définition choisie, la variable aléatoire $X_{T}$ (dont la définition sur $\{ T = + \infty \}$ est problématique) est $\mathcal{F}_{T}$-mesurable et on démontre le théorème d'arrêt sans faire appel au fait qu'un événement de la tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt appartient à $\mathcal{F}$ ou à $\mathcal{F}_{\infty}$, mais je suis quand même gêné par ces deux définitions a priori différentes.
Qu'en pensez-vous ?
Le Pingouin
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Le Pingouin
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Réponses
Les deux définitions sont équivalentes car pour tout $A\in\mathcal{F}_T :=\{ B \in \mathcal{F} \mid \forall n \in \mathbb{N}, B \cap \{ T \leqslant n \} \in \mathcal{F}_{n} \}$, on a $A = \displaystyle\bigcup_{n\in\Bbb N} A\cap\{T\leqslant n\}\in\mathcal{F}_\infty$.
Sinon, moi je pensais à quelque chose de plus trivial : prendre $(\Omega, \mathcal {F}, \Bbb P) $ n'importe quel espace probabilité tel que $\mathcal{F} \neq\{\varnothing, \Omega\} $, et poser $\mathcal {F}_n=\{\varnothing, \Omega\}$ pour tout $n$.
Je ne sais pas si cette coexistence de deux définitions a des conséquences. Moi je n'en vois pas. C'est différent de la distinction corps commutatif vs corps gauche qui change beaucoup de choses.
Je n'en vois pas non plus car j'ai regardé dans mes notes de cours (niveau M1) où l'on fait apparaître la tribu des événements antérieurs à un temps d'arrêt et le seul truc que l'on utilise dans les démos, c'est « $\forall n \in \mathbb{N}, A \cap \{ T = n \} \in \mathcal{F}_{n}$ ». Le fait que $A \in \mathcal{F}$ ou $A \in \mathcal{F}_{\infty}$ n'apparaît pas.
C'est vrai mais j'avais pensé à ces petites distinctions de vocabulaire que font parfis certains auteurs.
Je prends $T:=+\infty$ constant, comme j'avais dit avant.
Un t.a. constant quelconque ne conviendrait pas dans notre cas ?
Non car si $T$ est constant et fini, on a dans mon exemple $\mathcal{F}_T = \mathcal{F}_T^{(\infty)}=\{\varnothing,\Omega\}$ (en appliquant les définitions).