Condition d'orthologie de deux triangles podaires
Bonjour
Voici un nouveau problème.
Voici un nouveau problème.
Soient $DEF$ et $D'E'F'$ les triangles podaires des points $M$ et $M'$ respectivement. Montrer que les triangles $DEF$ et $D'E'F'$ sont orthologiques si et seulement si $M, M'$ et le centre du cercle circonscrit $O$ du triangle ABC sont alignés.
Amicalement.
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Réponses
pour commencer, les cercles circonscrits à DEF et D'E'F' sont tangents (d'après le troisième théorème de Fontené)
Sincèrement
Jean-Louis
tu as raison...j'ai mal relu mon archive...pour le cas de tangence, M' doit être l'isogonal de M
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol8.html
puis
Les trois théorèmes de Fontené...
Amitiés
Jean-Louis
Un point et son isogonal ont le même cercle podaire.
Bien cordialement. Poulbot
Une solution pour amateur de calcul du problème de Bouzar.
Je laisse le soin à nos calculateurs de vérifier que
$\left( \overrightarrow{DF}\ |\ \overrightarrow{D^{\prime }E^{\prime }}\right) -\left( \overrightarrow{DE}\ |\ \overrightarrow{D^{\prime }F^{\prime }}\right) =\dfrac{2S\left( ABC\right) S\left( OMM^{\prime }\right) }{R^{2}}=4\sin \widehat{A}\sin \widehat{B}\sin \widehat{C}\ S\left( OMM^{\prime }\right) $.
Or, si $f$ est l'application affine $DEF\rightarrow D^{\prime }E^{\prime }F^{\prime }$, les triangles $DEF$ et $D^{\prime }E^{\prime }F^{\prime }$ sont orthologiques ssi la partie linéaire $\overrightarrow{f}$ de $f$ est un endomorphisme symétrique (autoadjoint) soit ssi $\left( \overrightarrow{DE}\ |\ \overrightarrow{D^{\prime }F^{\prime }}\right) =\left( \overrightarrow{DF}\ |\ \overrightarrow{D^{\prime }E^{\prime }}\right) $.
Inutile de dire que je suis loin d'être fier de ce qui précède car je pense qu'il y a beaucoup plus sumple.
Bien cordialement. Poulbot
On sait que $DEF$ et $D'E'F'$ sont orthologiques si, et seulement si $DE'^2 - DF'^2 + EF'^2 - ED'^2 + FD'^2 - FE'^2 =0$.
Amicalement