Isomorphisme de produits semi-directs
$\newcommand{\S}{\mathfrak{S}}$Bonjour,
Je bute sur cet exercice : montrer que $\S_3 \times \Z / 2 \Z \cong \S_3 \rtimes \Z / 2 \Z$ ($\S_3$ le groupe symétrique d'ordre $3$).
Une indication serait bienvenue.
Merci d'avance.
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Réponses
Alain
ou bien $(C_3\rtimes_{\phi'}C_2)\times C_2)=\S_3\times C_2$, où l'image de $\phi'$ est l'automorphisme non trivial de $C_3$.
ou bien $(C_3\times C_2)\rtimes_w C_2=C_6\rtimes_w C_2\simeq \mathcal D_6$, où l'image de $w$ est l'automorphisme d'inversion du générateur de $C_6$.
Alain
Les éléments de $G$ sont les couples $(n,h)$ et $\star$ est la loi dans $G$, on peut ainsi noter $(n,h)=(n,1)\star (1,h)$ ou encore $n\star h$ (attention c'est un élément de $N$ suivi d'un élément de $H$).
Le morphisme $u:H\to\Aut(N)$ va définir la loi $\star$ de composition dans $G$ par $(n,h)\star(n',h')=\big(nu(h)(n'),hh'\big)$, que l'on peut écrire $nu(h)(n')\star hh'$ et même $n\star u(h)(n')\star h\star h'$.
Mais, on a aussi $(n,h)\star(n',h')=n\star h\star n'\star h'=n\star h\star n'\star h^{-1}\star h\star h'$. Ce qui donne par identification $u(h)(n')=h\star n'\star h^{-1}$.
Merci. Ce sont les isométries $rt$ et $r^2t$ dont je parle plus haut. On obtient $G= \{Id, rt,r^2, t,r,r^2t \} \rtimes \{Id, s \}$.
Les traits représentent, en montant, l'inclusion des sous-groupes.
Les sous-groupes distingués dans $G$ sont encadrés, et les autres sont liés par des pointillés horizontaux matérialisant les classes de conjugaison de sous-groupes.
Le type de sous-groupe est indiqué sur le côté.
Le centre de $G$ est matérialisé par un trait vertical épais et un cadre épais.
L'ordre des sous-groupes est marqué sur la droite.