Espace de Hardy et régularité du prolongement sur le cercle
Bonjour,
Soit $f$ une fonction holomorphe sur le disque unité ouvert $\mathbb{D}$. On sait qu'elle est dans l'espace de Hardy sur le tore $\mathbb{T }=\partial \mathbb{D}$, i.e.
$$
\mathcal{H}(\mathbb{T}):=\{f\in L^2(\mathbb{T})\,;\, \widehat{f}(k)=0\; \forall k\in \Z\backslash\N\}\,.
$$
Supposons que
1-$|f|=1$ sur $\mathbb{T }$
2-$f$ est continue sur $\mathbb{T }$
Je cherche à montrer que $f$ est continue partout sur tout le disque unité fermée. Il manque ainsi à montrer la limite radiale de $f$, c'est-à-dire pour tout $\theta \in\mathbb T\,$,
$$
\lim_{r\to1}f(r \mathrm{e}^{i\theta})=f(\mathrm{e}^{i\theta})\,.
$$
En cherchant sur le net, j'ai trouvé que dès qu'on a une fonction dans l'espace de Hardy + bornée, alors la limite ci-dessus existe pour presque tout $\theta\,.$
Est-il possible avec les conditions 1 et 2 j'arrive à montrer que c'est vrai pour tout $\theta$ ? Si oui, pouvez-vous m'aider?
-------------------------------------------------------------
Le résultat que j'ai trouvé sur le net est apparrement un classique, quelqu'un peut me dire où est-ce que je peut trouver sa démonstration?
Auriez-vous également de bonnes références pour étudier l'espace de Hardy (Je préfère les cours que les livres, mais si vous avez de bon suggestions de livre je suis preneur).
Merci !
Soit $f$ une fonction holomorphe sur le disque unité ouvert $\mathbb{D}$. On sait qu'elle est dans l'espace de Hardy sur le tore $\mathbb{T }=\partial \mathbb{D}$, i.e.
$$
\mathcal{H}(\mathbb{T}):=\{f\in L^2(\mathbb{T})\,;\, \widehat{f}(k)=0\; \forall k\in \Z\backslash\N\}\,.
$$
Supposons que
1-$|f|=1$ sur $\mathbb{T }$
2-$f$ est continue sur $\mathbb{T }$
Je cherche à montrer que $f$ est continue partout sur tout le disque unité fermée. Il manque ainsi à montrer la limite radiale de $f$, c'est-à-dire pour tout $\theta \in\mathbb T\,$,
$$
\lim_{r\to1}f(r \mathrm{e}^{i\theta})=f(\mathrm{e}^{i\theta})\,.
$$
En cherchant sur le net, j'ai trouvé que dès qu'on a une fonction dans l'espace de Hardy + bornée, alors la limite ci-dessus existe pour presque tout $\theta\,.$
Est-il possible avec les conditions 1 et 2 j'arrive à montrer que c'est vrai pour tout $\theta$ ? Si oui, pouvez-vous m'aider?
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Le résultat que j'ai trouvé sur le net est apparrement un classique, quelqu'un peut me dire où est-ce que je peut trouver sa démonstration?
Auriez-vous également de bonnes références pour étudier l'espace de Hardy (Je préfère les cours que les livres, mais si vous avez de bon suggestions de livre je suis preneur).
Merci !
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Réponses
Peut être une piste pour t'aider, tu dérives ta fonction et tu étudies les dérivées de la fonction pour essayer de prouver l'appartenance a un certain espace de sobolev $W^{m,p}$ et si ta réussis à avoir un $m$ assez grand tu pourras utiliser une injection dans les fonctions continues.
J'écris $f(x)=\sum_{k\geq 0} a_k\mathrm{e}^{ikx}$. Et quand je dérive ça donne $$
f^{(m)}(x)=\sum_{k\geq 0}(ik)^m a_k\mathrm{e}^{ikx}
$$Mais je ne vois pas pourquoi $f^{(m)}$ appartiendrait à un $L^p$.
$|f|=1$ est superflu.
Pour votre problème partiel, (ie limite radiale partout existe partout qui ne prouverait pas la continuité sans explication), regardez la preuve du théorème de Weierstrass (trigonométrique) qui utilise le noyau de Poisson.
tu peux m'indiquer comment tu fais pour avoir (ou mettre la source) la proposition si $f$ est holomorphe sur $\mathbb{D}$ alors c'est dans l'espace de Hardy ? parce que à la base $f$ n'est pas du tout défini sur le bord donc il y a des précisions à ajouter et ça m'éclairerai plus sur ton hypothèse 2)"$f$ est continue sur $\mathbb{T}$"
edit. Encore lu trop vite si j'ai bien compris ta question c'est tu définis la fonction presque partout $\phi(z)= f(z)$ sur $\mathbb{D}$ et $\phi(e^{it})= \lim_{r \mapsto 1^-}f(re^{it})$ sur $\mathbb{T}$ est-ce que $\phi$ est défini sur tout les points et est continue sur le disque fermé ?
edit 2. Ne fais pas attention à ce message, les indications de Lars donnent des réponses à ton problème.
J'ai encore une question liée à celle-ci.
Supposons que maintenant on a $\phi$ une fonction dans $\mathcal{H}(\mathbb{T})$ et qui est de plus continue, i.e. $\phi\in \mathcal{C}^0(\mathbb{T})$ et je veux définir une fonction holomorphe $f$ sur $\mathbb{D}$ tel que $$
\lim_{z\to\zeta\,, z\in \mathbb{D}}f(z)=\phi(\zeta)\,, \quad \lvert \zeta \rvert =1\,.
$$ Est-ce que c'est correct de prendre $$
f(z):=\int_{\zeta\in\mathbb{S}^1}\frac{1-\lvert z\rvert^2}{\lvert z-\zeta\rvert^2}\,\phi(\zeta) \,\frac{d\zeta}{2\pi i \zeta}\,,\quad z\in \D\,?$$
Pour moi ça n'a pas trop la tête d'une fonction holomorphe, à cause du $|z|^2$.
Edit : Je crois qu'on peut justifier $(2)$ à l'aide du théorème de Fejér.
Vous trouverez la bonne représentation intégrale.
Quelle est la variable d'intégration dans cette intégrale de Cauchy ? (est-ce $d\zeta/\zeta$ au lieu de $dz/z$ ?).
Oui, j'ai écrit $\frac{dz}{z}$ au lieu de $\frac{d\zeta}{\zeta}$ sans faire attention, je vais corriger.
NB si on cherche juste à vérifier qu'une fonction est analytique (ou pas), il suffit de vérifier les conditions de Cauchy-Riemann. Si la fonction est représentée avec les variables $r, \theta$ on écrit ces conditions en $r, \theta$.