Martingales - Définition
Bonjour
Je n'arrive pas à comprendre ce qu'est une martingale. Les questions les plus basiques me venant à l'esprit sont les suivantes.
- Que signifie concrètement l'égalité caractéristique des martingales ? Quel est le lien avec le futur du processus ?
- Comment se représenter une martingale ?
- Comment, si je détiens à l'heure actuelle une représentation correcte du concept, reconnaître une martingale, ne pouvant pas me projeter dans le futur ?
Merci d'avance
Je n'arrive pas à comprendre ce qu'est une martingale. Les questions les plus basiques me venant à l'esprit sont les suivantes.
- Que signifie concrètement l'égalité caractéristique des martingales ? Quel est le lien avec le futur du processus ?
- Comment se représenter une martingale ?
- Comment, si je détiens à l'heure actuelle une représentation correcte du concept, reconnaître une martingale, ne pouvant pas me projeter dans le futur ?
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Réponses
J'ai déjà attaqué les espérances conditionnelles et les filtrations, et j'avais l'impression de les avoir saisies, mais peut-être que l'incompréhension vient de là (mauvaise représentation, pas assez de profondeur...), aurais-tu quelques pistes à creuser ?
Une martingale c'est un jeu en moyenne équitable pour tous les deux joueurs. Autre exemple : la température d'une pièce est une martingale. La meilleure approximation de la température dans une heure est la température à cet instant.
Mais c'est aussi une construction purement mathématique qui sert à étudier d'autres variables aléatoires de manière détournée.
Chaque fois que je manipulais des martingales en Master 1 et 2, la façon de faire n'était pas "montrer que notre variable aléatoire est une martingale" mais plutôt "On bricole une martingale à partir de la variable aléatoire qui nous occupe, puis on utilise les propriétés purement mathématiques des martingales -notamment la convergence presque sûre qui est la raison d'être de leur puissance- pour en déduire des choses sur la variable d'origine".
Les martingales sont un outil plus qu'une fin dans beaucoup de problèmes. Ce sont un peu comme des fonctions auxiliaires qu'on introduirait dans certains problèmes d'analyse pour étudier d'autres fonctions.
Je me faisais aussi cette réflexion (et ça complète bien ce qu'a dit Positif !). On cherche la meilleure approximation du futur (avec la précision dont on dispose) si je comprends bien, et cela prend la forme d'une espérance conditionnelle...
Merci beaucoup, je creuse ça !