Grassmannienne

Bonjour,
tout est expliqué dans ce papier https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02009786/document
La métrique riemannienne usuelle de $\R^n$ c'est la métrique $g$ tel que si t'écris ta métrique en coordonnée les coefficient $g_{ij}= 1$ si $i=j$ et $0$ sinon (les coefficients forment la matrice identité).
Mais ce n'est pas sur ce point la que tu dois te concentrer.
Dans le document que je t'ai envoyé il va prendre l'ensemble des matrice réelles de taille $n*k$  dont les colonnes sont linéairement indépendantes et il va munir cet ensemble de la relation d'équivalence suivante : 2 matrices sont équivalentes si leur colonnes engendrent le même sous espace vectoriel.
Il considère alors l'ensemble quotient qu'il munit d'une structure de variété différentielle c'est la variété grassmannienne. D'où ta représentation avec des matrices.
Puis il va munir cette variété d'une métrique riemannienne, et c'est cette métrique qui est importante parce que après tu peux définir une connexion compatible avec cette métrique (connexion de Levi Civita) et puis avec cette connexion tu peux définir les géodésiques ( les courbes d'accélération nulle).
Et ces géodésiques sont les chemins qui vont réaliser la distance entre les points de ta variété.
(la distance entre deux point a,b est l'inf de la longueur du chemin sur tout les chemin qui relie a et b).
Si t'es à l'aise avec la géométrie Riemannienne tu peux directement aller au chapitre variété Grassmannienne, sinon il faut lire depuis le début du chapitre 2.

De rien