Arcsinus arcsinum fricat.
Construction de triangle avec discussion subtile
dans Géométrie
Bonjour,
Construire un triangle, connaissant $\angle A,\ a, \ b^2 + c^2$.
A+
Construire un triangle, connaissant $\angle A,\ a, \ b^2 + c^2$.
A+
Réponses
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On retrouve $bc$ puis $b$ puis $c$ (mais peut-être que je n'ai pas compris la question).
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Sur le plan algébrique l'on retrouve peu ou prou la formule
a² = b² + c² - 2 bc cos α (Al Kashi)
dont on déduit 2 bc (= p) et assez facilement b et c :
(b + c)² = a² + 2 bc cos α + 2 bc
= a² + p cos α + p
= k²b + c = k avec c = p/2b etc.Si par contre la construction est géométrique sans calcul, cela mérite réflexion.Jean-Pol Coulon -
Bonjour à tousOn trace le segment $BC=a$.Le sommet $A$ se retrouve alors situé sur un certain arc capable. (Sont-ils encore enseignés?)D'autre part, si $A'$ désigne le milieu du segment $BC$:$$b^2+c^2=AB^2+AC^2=2AA'^2+2A'B^2=2m_a^2+\dfrac{a^2}2$$(Réduction des fonctions scalaires de Leibniz, l'immortel inventeur des monades). Sont-elles encore enseignées?Bref, le point $A$ se trouve aussi sur le cercle de centre $A'$ et de rayon $m_a=\sqrt{\dfrac 12(b^2+c^2-\dfrac{a^2}2)}$.On doit donc discuter de l'intersection d'un arc de cercle et d'un cercle, ce qui me parait duraille et hors de portée de notre maigre enseignement!Amicalementpappus
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RE
OK pour la construction de Pappus (le lieu des points dont la somme des carrés des distances à deux points donnés est constante fait partie des lieux connus, pour ne pas dire des lieux communs).
On est donc ramené au passionnant problème suivant
A quelle(s) condition(s) sur $\alpha, a, r$ l'arc capable de $\alpha$ décrit sur $BC = a$ coupe-t-il le cercle de centre le milieu de $BC$ et de rayon $r$ ?
A+
Arcsinus arcsinum fricat. -
RE
Pour se faire une idée du schmilblick, on peut dans Geogebra créer un cercle fixe, sur lequel on prend une corde $BC$ (ce qui donne deux arcs capables supplémentaires), puis créer un cercle centré en milieu de $BC$ de rayon $r$ donné par un curseur.
A+Arcsinus arcsinum fricat. -
Bonjour à tousIl n'y a aucun schmilblik qui tienne!Ceux qui sont courageux essayent de faire des calculs et ceux qui ne le sont pas, viennent jeter de temps en temps un coup d'œil dans cette discussion pour voir si, par hasard, la solution n'aurait pas été écrite dans ses moindres détails.Amicalementpappus
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RE
Geogebra évite de faire des tonnes de dessin sur papier et guide la discussion géométrique.
C'est un peu plus ardu de faire coïncider la discussion algébrique avec la géométrique ; il faut étudier le signe de deux radicandes intervenant dans les racines, etc.
A+Arcsinus arcsinum fricat. -
Bonsoir,
J'ai fait les calculs ! Et je trouve :
$$a \leq 2r \leq \frac{a}{\tan(\frac{\alpha}{2})}.$$ Amicalement, Ludwig
EDIT : pour $\alpha < 90°$. Et on change le sens de cette double inégalité sinon. -
RE
Pour $\alpha$ aigu, je trouve $ a < \sigma \leq a/\sqrt 2 \sin(\alpha/2)$, où $\sigma^2 = b^2+c^2$.
Pour $\alpha$ obtus, on change le sens de la double inégalité.
A+Arcsinus arcsinum fricat. -
Bonjour à tousPour un exercice aussi simple, est-ce vraiment si difficile d'écrire le détail des calculs plutôt que de nous bombarder une solution qu'on est pas obligé de prendre pour argent comptant!Si je lis ma solution géométrique, je remarque que:$$m_a^2=\dfrac 12(b^2+c^2-\dfrac{a^2}2)\ge 0$$Donc si $b^2+c^2-\dfrac{a^2}2<0$, il n'y a pas de solution!Quant au reste, il s'agit plus ou moins de discuter de l'intersection de deux cercles!Il est vrai qu'à une époque où on ne connait plus que le cercle trigonométrique, une telle discussion doit être devenue extrêmement difficile!Amicalementpappus
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RE
Si l'angle donné est aigu, il n'y a intersection que si le rayon du cercle est supérieur à la demi-corde et inférieur ou égal à la hauteur de l'arc capable :smile
$a/2 < \sqrt {\sigma^2/2 - a^2/4} \le a\ cotan (\alpha/2)/2$.
Cela donne
$a^2/4 < \sigma^2/2 - a^2/4 \le a^2\ cotan^2 (\alpha/2)/4$.
$2a^2 < 2\sigma^2 \le a^2/\sin^2 (\alpha/2)$
$a^2 < \sigma^2 \le a^2/2\sin^2 (\alpha/2)$
$a < \sigma \le a/\sqrt 2\sin (\alpha/2)$.
A+
Arcsinus arcsinum fricat.
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