Premiers de la forme $p=x^2+ny^2$

marco · August 2022

Bonjour,

Un livre a pour sujet les nombres premiers de la forme $p=x^2+n y^2$. Aussi, je me demande, si on a la propriété suivante: soit $p$ un nombre premier, $n$ un entier tel que $-n$ est un carré modulo $p$, est ce qu'il existe alors $x,y,m$ des entiers naturels tels que $m$ est congru à $n$ modulo $p$ et, tels que $p=x^2+my^2$ ?

Merci d'avance.

marco · August 2022

Et si $m$ est seulement supposé être un entier relatif ?

marco · August 2022

Pour la première question ($m$ entier naturel), ce n'est pas vrai si $p=7$, et $n=5$. En effet, $-n=-5$ est congru à $3^2$ modulo $7$. Mais $p$ ne s'écrit pas $x^2+5y^2$.

gilles benson · August 2022

Cox: Primes of the form $x^2 + ny^2$ chez Wiley est une lecture des plus intéressante. (page 12)

Poirot · August 2022

Je pense que c'est le livre dont marco parle au début de son premier message.

marco · August 2022

Merci, je ne le trouvais pas, je le cherchais chez Springer.

JLapin · August 2022

Son livre est disponible en pdf

[Pas de lien de téléchargement illégal. Poirot]

marco · August 2022

@JLapin : merci.

noradan · September 2022

Cela dit le livre en question est absolument remarquable. C'est le premier que j'ai lu pour m'initier aux corps de classe. Il y a beaucoup de trous dans les démonstrations mais ils sont placés en exercice et sont suffisamment explicites pour que je n'ai jamais eu de problème pour les compléter.
C'est un excellent livre pour qui veut mettre un peu les mains dans le moteur. La quasi totalités des exos est parfaitement faisable seul.

Premiers de la forme $p=x^2+ny^2$

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