Constat étrange
Bonjour j'observe avec une calculatrice que plus on avance dans les puissances du nombre d'or plus on se rapproche d'un nombre entier.
Voici une liste de résultats avec l'éloignement du nombre entier le plus proche à coté :
(puissance de phi)(résultat)(distance de l'entier le plus proche)
(1)(1,618..)(0,381..)
(2)(2,618..)(0,381)
(3)(4,236..)(-0,236..)
(4)(6,854..)(0,145..)
(5)(11,090..)(-0,090..)
(6)(17,944..)(0,055..)
(7)(29,034..)(-0,034..)
(8)(46,978)(0,021..)
(12)(321,9968..)(0,0031..)
(20)(15126.99993..)(0,00008..)
(30)(1860497.9999994..)(0,00000005..)
Il semble que la suite des distance au nombre entier le plus proche forme une série de puissance négatives de phi.
Qu'en pensez vous ? Peut-on résoudre cette conjecture ?
Voici une liste de résultats avec l'éloignement du nombre entier le plus proche à coté :
(puissance de phi)(résultat)(distance de l'entier le plus proche)
(1)(1,618..)(0,381..)
(2)(2,618..)(0,381)
(3)(4,236..)(-0,236..)
(4)(6,854..)(0,145..)
(5)(11,090..)(-0,090..)
(6)(17,944..)(0,055..)
(7)(29,034..)(-0,034..)
(8)(46,978)(0,021..)
(12)(321,9968..)(0,0031..)
(20)(15126.99993..)(0,00008..)
(30)(1860497.9999994..)(0,00000005..)
Il semble que la suite des distance au nombre entier le plus proche forme une série de puissance négatives de phi.
Qu'en pensez vous ? Peut-on résoudre cette conjecture ?
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Réponses
ici, on trouve des choses, puis ta conjecture (écriture de manière étonnante :
« limite $\varphi^n$ = nombre entier »… c’est moche… il n’y a pas de limite réelle… mais c’est l’idée.
Dom
Regarde la suite ""de Fibonacci"", commençant par 1,2,3,4,7,11,18,29,47 etc etc ... en additionnant à chaque fois les 2 derniers termes.
Tu vas constater que tu arrives sur la série que tu regardes (les arrondis de tes nombres, ce sont mes nombres).
Je pense que c'est un élément pour démontrer ton résultat.
Dans ton lien ça dit que les puissances de phi ont pour décimales les puissances négatives de phi. Il suffirait donc de trouver pourquoi.
C'est vrai. J'avais pas tout saisi.
Phi^k semble tendre effectivement vers la suite de Lucas.
On note $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $\psi = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
Pour tout $n \geq 0$, $\varphi^n + \psi^n$ est un entier (en posant $u_n = \varphi^n + \psi^n$, on a $u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n$, et $u_0 = 2$, $u_1 = 1$), qu'on note $a_n$.
Et $a_n - \varphi^n = \psi^n$, qui tend vers 0 quand $n$ tend vers $+ \infty$. D'où le fait que les puissances de $\varphi$ se rapprochent d'entiers.
De plus, puisque $\psi = - \dfrac{1}{\varphi}$, on obtient $a_n - \varphi^n = (-\dfrac{1}{\varphi})^n = (- \varphi)^{-n}$, d'où la conclusion (si $n \geq 2$).
Intéressant