Encore une "preuve" de l'hypothèse de Riemann?
Réponses
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Je ne sais pas si c'est vrai, mais la preuve a l'air crédible et intéressante. Je n'aurais jamais pensé à appliquer la théorie des opérateurs pseudo-différentiels pour résoudre HR. Les références sont étranges (c'est majoritairement des livres de l'auteur de la preuve), mais impossible de savoir à quoi s'attendre pour un tel problème, je suppose que les spécialistes n'avaient juste jamais considéré ce point de vue...
L'auteur aurait aussi récemment prouvé la conjecture de Rammanujan généralisée avec la même technique, preuve qu'il a apparemment soumis à un journal. Soit c'est un virtuose, soit il a complètement vrillé. -
Bien que je serais fasciné que HR soit prouvée de mon vivant, je ne me fais pas de faux espoirs. Attendons la critique.
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L'auteur a prépublié un texte sur le même thème il y a six mois, finalement intitulé "Pseudodifferential arithmetic and a failed attempt on the Riemann hypothesis".
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Je ne comprend absolument rien dans ce papier (trop technique pour moi) mais je peux juste dire mon avis sur le résumé que je trouve très enthousiaste pour être vrai. La première chose c'est que l'auteur propose dans ce résumé des choses qu'il n'a pas encore prouvé "il a écrit : On peut encore réduire la question à une question algébrique. Ceci conduit à une preuve de la conjecture, bénéficiant alternativement d'une succession de progressions vers les hypothèses de Riemann et de Lindelöf". Dans un résumé on raconte exactement et justement ce qu'on a prouvé. La deuxième chose, l'auteur a pu montrer deux choses extrêmement difficiles à prouver et même à vérifier ensuite, il a établi un équivalent de HP ensuite il l'a prouvé.
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L'auteur du papier avoue qu'il y avait des erreurs de calcul dans la précédente version de celui-ci.Honnêtement si je pensais avoir démontré l'hypothèse de Riemann je prendrais beaucoup de précaution avant de rendre public le papier contenant une telle démonstration pour ne pas avoir l'air d'une buse quand on va découvrir une erreur bidon. Est-ce que les mathématiques sont frappées elles-aussi par l'effet buzz?PS.Quand Wiles a pensé avoir achevé la démonstration de l'hypothèse de Fermat il me semble qu'il a voulu vérifier en organisant une espèce de séminaire que sa démonstration tenait la route et cela avant de la publier.
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L'auteur est assez agé (au moins 65 ans), donc c'est peut-être un deuxième Michael Atiyah qui veut démontrer RH avant sa mort.
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@Bibix: pas très encourageant. Les "vieux" n'ont plus temps d'attendre.
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Une chose est sûre, celui qui prouvera l'HR sera sûr de son résultat à 100% et il sera facile pour lui de l'expliquer aux autres sans des introductions qui soulèvent des doutes parce qu'elles sont incertaines et donc très probablement fausses.
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@L2M: Wiles était certainement sûr de sa démonstration mais elle comportait malgré tout une faille au milieu des années quatre-vingt-dix. Etre sûr de quelque chose ne signifie pas qu'on a raison. Tu veux juger de la véracité d'une preuve mathématique sur l'aplomb et le bagout d'un mathématicien?
Je n'ai pas les connaissances pour lire le papier signalé et le gars n'est certainement pas un shtameur de base, du moins je me plais à le croire, donc s'il y a une erreur je ne vais pas être capable de la détecter mais cela ne veut pas dire qu'elle n'existe pas. -
Oui, il est sans doute plus sage d'attendre la critique d'experts du domaine. Et il faudra probablement des experts de la théorie des opérateurs pseudo-différentiels ainsi que de l'hypothèse de Riemann. Ça risque de prendre pas mal de temps... . J'espère que les journalistes n'en profiteront pas pour faire un article prématuré sur le sujet, comme avec Atiyah...
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Je ne parlais pas de Wiles car je ne connais pas le type d'erreur commise dans son article, je parlais de celui qui prouvera l'HR.Un vrai mathématicien ne peut pas écrire d'article contenant de résultats faux sauf s'il y a erreur ou ambiguïté dans la théorie utilisée, ou si sa motivation profonde c'est d'être reconnu le plus vite possible.
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Il y a aussi des fautes de frappe dans son article. Si ce n'est pas forcément un signe de fausseté mathématique, cela trahit une certaine précipitation.
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Regardez son texte et analysez le, par contre ce serait bien de ne pas faire de "psychanalyse" et de ne pas parler de son âge.
Restons juste objectif et professionnels, on lit, on analyse, si on trouve que c'est faux, on le dit et on montre pourquoi...
Merci. -
On a quand même des choses bizarres dans le document. Par exemple, on a p.49 un paragraphe qui dit :S'il y a une infinité de zéros dont la partie imaginaire peut être aussi grande qu'on veut (comme pour la droite critique avec le théorème d'Hardy), alors c'est faux non ?
Let ρ be a hypothetical zero of zeta such that Re ρ > 1/2 + κ:
we assume that ρ has the largest imaginary value among all zeros with the same real
part (in the very unlikely case when two different zeros with the same real
part, both on the right of the critical line, would exist).Du coup, ce n'est pas vraiment l'hypothèse de Riemann qu'il a prouvé, mais seulement l'énoncé "Le nombre de zéros non triviaux tel que $Re( ρ) > \frac{1}{2} + \kappa$ est soit infini, soit nul". Dans son document, l'auteur prend $\kappa = \frac{13}{84}$, puis il applique une récurrence qui devient fausse avec ma remarque. Donc en fait, il aurait prouvé qu'il n'y a pas de zéros sur $\{x \mid Re(x) \in\, ]\frac{55}{84}, 1[\}$, ou alors il y en a une infinité...Edit : j'ai corrigé une erreur. -
Dire que si les validations scientifiques ne prenaient pas tant d'années les auteurs pourraient s'appuyer sur la conjecture de Hodge pour se simplifier la vie...
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Andre Unterberger n'est pas n'importe qui. Il faut ecouter ce qu'il a a dire sur le sujet.
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Un énoncé prouvé et de la forme "Hodge => X" reste un théorème (même si selon les circonstances on préfererait X).Riemann_lapins_cretins a dit :Dire que si les validations scientifiques ne prenaient pas tant d'années les auteurs pourraient s'appuyer sur la conjecture de Hodge pour se simplifier la vie...
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Dans la preuve du théorème 5.2 (p.20), on a un raisonnement du même type :
Encore une fois, on pourrait très bien avoir $\sup_{\rho} Re (\rho) = 0.8$ sans avoir l'existence de $\rho_0$ tel que $Re (\rho_0) = 0.8$...Assume that such a zero exists: one may assume that the real part of ρ0 is the largest one among those of all zeros of zeta (if any other should exist !) with the same imaginary part and a real part > 1/2 .
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La fonction zêta est soumise au principe des zéros isolés : il n'y en a qu'un nombre fini dont la partie imaginaire est fixée et la partie réelle comprise entre $-1$ et $1$.
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Je connais des fonctions holomorphes dont l'ensemble de zéros est $\{\frac{1}{n}\mid n \in \mathbb{N}^*\}$. Peut-être que c'est vrai, mais le principe des zéros isolés ne suffit pas. Et il faudrait dans tous les cas que l'auteur le mentionne car ce n'est pas trivial. Les zéros triviaux ont tous la même partie imaginaire. Et les zéros non triviaux auraient tous la même partie réelle selon RH...
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Tes fonctions holomorphes ne le sont certainement pas sur un voisinage de zéro. La fonction zêta n'a, elle, qu'un seul pôle en $1$. C'est le seul point d'accumulation possible de l'ensemble des zéros.
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Certes, dans ce cas on peut quand même avoir $\sup_{\rho} Re(\rho) = 1$, et pas de $\rho_0$ tel que $Re(\rho_0) = 1$, non ?Edit : Je crois que cela a été démontré comme impossible mais il faudrait quand même que l'auteur le mentionne...
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Non parce que la fonction zêta est holomorphe sur $\C\setminus\{1\}$ : tout compact inclus dans ce plan épointé contient un nombre fini de zéros. Cela s'applique à un segment horizontal par exemple, et dans un papier qui veut démontrer Riemann, je trouve raisonnable de le passer sous silence.
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Justement, je ne parle pas d'un compact mais plutôt de l'ouvert $]0, 1[$.
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Je ne suis pas sûr de comprendre de quoi tu parles.Il doit être à peu près trivial que la fonction zêta n'a pas de zéro réel sur $\left]0,1\right[$. On peut le déduire par exemple de l'expression intégrale suivante, valable si la partie réelle de $s$ est strictement positive, vu que tout est de signe constant : \[\zeta(s)=\frac1{(1-2^{1-s})\Gamma(s)}\int_0^1\frac{\left|\ln u\right|^{s-1}}{1+u}\mathrm{d}u.\]Le graphe est assez éloquent également : zêta décroît de $-1/2$ à $-\infty$ sur $\left]0,1\right[$.
Si on cherche un zéro dans la bande critique, donc, il a une partie imaginaire $y$ non nulle. Le segment ouvert reliant $\mathrm{i}y$ à $1+\mathrm{i}y$ est inclus dans le segment fermé reliant les mêmes, qui est un compact de $\C\setminus\{1\}$, donc aucun des deux segments ne contient de point d'accumulation des zéros. -
Soit. L'argument au complet serait donc :_ $\zeta(s)$ ne s'annule pas sur le demi-plan $Re(s) \geq 1$ (ni sur $Re(s) \leq 0$).$\qquad (1)$_ $\zeta(s)$ ne s'annule pas sur le segment ouvert $]0, 1[$. $\qquad(2)$_ pour tout $c \in \mathbb{R}^*$, $(x, y) \longmapsto \zeta(x + i y)$ s'annule un nombre fini de fois sur le segment $]0, 1[ \times \{c\}$. $\qquad(3)$$(1)$ est connu depuis longtemps, $(2)$ est trivial avec la définition des prolongements de $\zeta$, $(3)$ est "trivial" car la seule singularité de $\zeta$ est $s = 1$.On en déduit que pour un zéro non trivial $\rho$, $A = \{s \in \mathbb{C} \mid Re(s) > \frac{1}{2}, Im(s) = Im(\rho)\}$ est fini et donc $\text{argmax}_{s \in A} Re(s)$ existe.L'auteur passe cette justification sous silence comme si c'était évident qu'un maximum existe. Pour moi, il aurait été mieux de placer un "With a classical argument", juste pour dire que ce n'est pas trivial. Si je remplace $\zeta$ par une autre L-fonction (comme le fait l'auteur à la fin de son article avec la L-fonction de Dirichlet, même si ce n'est pas dérangeant dans son cas), je ne peux pas forcément utiliser le même argument.En plus, il fait le même passage sous silence pour le passage p.49, alors que c'est beaucoup moins trivial (si c'était la même justification, alors l'hypothèse de Lindelöf serait prouvée (cf. Backlund 1918).Enfin, il passe aussi sous silence l'existence de ses fonctions $u, v$. Une petite phrase (peut-être en note) serait la bienvenue pour conclure après la contradiction que c'est bien la fausseté de RH qui est remise en cause.
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Je ne vois pas le problème, c'est un article de recherche, si on commence à redémontrer le moindre truc ultra-connu et relativement trivial sur le sujet on n'a pas fini...
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Sauf qu'à côté, il mentionne des faits beaucoup plus triviaux. Il donne des remarques inutiles pour la preuve en soi (même si elles sont intéressantes). D'ailleurs, le paragraphe p.20 est lui aussi inutile si j'ai bien lu. Le seul résultat de la partie 5 (dont fait partie ce paragraphe) qu'il utilise est le lemme 5.1 (qui lui aussi est relativement trivial et archi connu). Pour ce qui pourrait candidater au titre de preuve du siècle, c'est plutôt suspect.
Relis en entier ce que j'ai écrit, je n'ai jamais dit qu'il fallait qu'il le redémontre. De toute façon, le réel problème que j'ai avec sa preuve se situe au niveau de la page 49. Le reste n'est que suspicion et heuristique pour qu'un lecteur lambda puisse se faire un avis a priori en attendant celui des vrais spécialistes.
PS : Je pense de toute façon qu'il faut attendre les réactions de l'auteur. Mon avis n'est que celui d'un matheux dans son coin. André Unterberger n'est pas un zozo mais un vrai mathématicien professionnel. -
A "cohomologies": merci de vos propos pleins de sagesse, A "Bibix": coquille corrigee dans la version v2 du preprint discute.
L'auteur. -
L’auteur André Utenberger a fait sa thèse avec Laurent Schwartz (médaille Fields 1950 pour ses travaux sur les distributions)
https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=75970
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Je ne suis pas si vieux (41 ans le 3 novembre) mais si RH est prouvée de mon vivant je me dirai que je suis tout de même particulièrement chanceux.
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La communauté mathématique passerait à côté de cette preuve ? Impossible ! C'est trop important !! Cela fait des mois là, quand même... Ou alors : on s'en fiche un peu de cette propriété. Mais personne ne pense cela.
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Je me hasarderai pas à prétendre savoir ce que les gens pensent. Les nombres bien que mystérieux ont au moins le mérite d'être régis par la logique, mais les gens...
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@Ludwig Pour la preuve discutée ici, cela fait à peine un mois. Il me semble que la preuve de la conjecture de Poincaré a mis 2 ans pour être vérifiée et acceptée. Là, cette preuve est plus longue et mélange des domaines séparés, très techniques, et relativement récent pour certains. C'est normal que le processus prenne du temps. Mais à mon avis, le silence n'est pas la preuve de l'absence de mouvement.
Edit : Je signale aussi qu'il y a d'autres preuves "sérieuses" de RH en cours de "validation" (même si "réfutation" serait peut-être le mot juste). -
C'est digne de Lakatos !
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