Anneau quotient d'un anneau principal
Bonjour.
Je bloque sur deux points.
Pourquoi si $x$ est un multiple de $a$ alors $\alpha=0$ ?
Pourquoi si $a$ est irréductible alors $x$ et $a$ sont premiers entre eux ?
Je bloque sur deux points.
Pourquoi si $x$ est un multiple de $a$ alors $\alpha=0$ ?
Pourquoi si $a$ est irréductible alors $x$ et $a$ sont premiers entre eux ?
Réponses
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Tu devrais revendre ton livre. Les démonstrations n'y sont pas suffisamment détaillées semble-t-il.
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Elles sont bien détaillées ce sont juste quelques points que je n'ai pas compris dans les pages précédentes qui ressurgissent.
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@OShine : dire que $x$ est un multiple de $a$ revient à dire que $x\in{}a\Z$, de sorte que $p(x)=\cdots$. Je te laisse faire le second point.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
$A=\Z$ et $n>1$... Si $x\in\Z/n\Z$ si $x=kn$ pourquoi $\alpha=p(x)=0$??? C'est toujours les mêmes questions... Va lire ton cours! Mieux va préparer tes cours pour tes élèves...
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- Si $x$ est un multiple de $a$ alors $x \in a A$. Dans l'anneau quotient, $x \sim y$ si et seulement si $x-y \in aA$.
- Supposons $a$ irréductible. Montrons que $x$ et $a$ sont premiers entre eux.
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$\newcommand{\pgcd}{\mathrm{pgcd}}$J'ai réussi finalement. Soit $a$ irréductible et $x$ non multiple de $a$. Alors $a$ ne divise pas $x$.
D'après le cours, on a $\pgcd(a,x)=1$ car $a$ ne divise pas $x$ ce qui signifie que $a$ et $x$ sont premiers entre eux.
On a l'analogie dans l'anneau principal $\Z$ avec si $p$ est premier et $y$ n'est pas un multiple de $p$ alors $\pgcd(p,y)=1$. -
@OShine : vu que $a$ est supposé irréductible, c'est bien la première proposition de la page 137 qu'il faut utiliser, en vertu du fait acquis que $a$ ne divise pas $x$. Il ne reste alors plus qu'une possibilité.Tu vois bien que lorsque tu cherches consciencieusement, tu trouves.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Il trouve la réponse dans le cours oui. Mais j'ai de sérieux doutes sur le fait qu'OShine comprenne réellement...Thierry Poma a dit :Tu vois bien que lorsque tu cherches consciencieusement, tu trouves.
Exemple : dans le cours de OShine il est dit que par définition $a$ et $b$ sont premiers entre eux si l'idéal $aA+bA$ est engendré par un élément inversible (voir son cours ICI). @OShine comment tu démontres dans ce cas que $1$ est un pgcd de $a$ et $b$ ? Je dis bien comment tu démontres pas comment tu cites une remarque du cours...
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Rien que la question qu'il pose en début de fil montre qu'il na pas compris ce qu'il a fait avant...
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C'est déjà pas mal d'avoir remarqué que c'est exactement la même preuve que pour prouver ce qui est dit en remarque juste en dessous de la preuve !
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Je n'ai jamais dit avoir compris ces notions parfaitement, première fois de ma vie que j'étudie ça et en plus seul dans un livre.
@raoul.S c'est très facile !
On a $a$ et $b$ premiers entre eux si $\pgcd(a,b)$ est inversible. Or $\pgcd(a,b) A = a A+ bA$.
Comme $\pgcd(a,b)$ est inversible et que le $\pgcd(a,b)$ n'est défini qu'à un inversible près, on a $\pgcd(a,b) ^{-1} \pgcd(a,b)=1_A$ qui est un $\pgcd$ de $a$ et $b$ ce qui termine la preuve. -
Et ça veut dire quoi mathématiquement que $pgcd(a,b)$ est défini à un inversible près ?
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@OShine : je te recommande de rester sur l'anneau $\Z$ dont tu sais déjà qu'il est principal. Le Liret te donne un certain nombre de propriétés le concernant, dont des propriétés arithmétiques. Restes-en là !
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Pour rappel, je pense qu'il se fiche éperdument de tes bons conseils...
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Il a lu ici que le pgcd de -9 et -6 pouvait être aussi bien 3 que -3. Et pour lui, 3 et -3 sont inverses l'un de l'autre. Et d'erreur en approximation, un exercice qu'il ne savait pas faire devient 'très facile'.
Dans un mois, ses élèves de 5ème ou 4ème auront déjà compris qu'ils vont perdre un an, ils ont tiré le mauvais numéro.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
@Thierry Poma pourquoi ?
Par convention, le pgcd est défini dans $\Z$ en étant positif, de toute façon, les inversibles de $\Z$ sont peu nombreux : $1$ et $-1$.
Le pgcd dans l'anneau des polynômes est défini comme unitaire....
@raoul.S
Ca veut dire que si $\pgcd(a,b)$ est un pgcd de $a$ et de $b$ alors $\varepsilon \pgcd(a,b)$ reste un pgcd de $a$ et de $b$ pour tout $\varepsilon$ inversible. -
Et tu sais le prouver ?
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Non... C'est un générateur de $(a)+(b)$...OShine a dit :@Thierry Poma pourquoi ?
Par convention, le pgcd est défini dans $\Z$ en étant positif, de toute façon, les inversibles de $\Z$ sont peu nombreux : $1$ et $-1$.
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Oui c'est un générateur de l'idéal $aA+bA$ mais on le définit positif pour avoir l'unicité.
On a $\pgcd(a,b) A= aA+ b A$. Soit $\varepsilon$ un inversible.
Montrons que $\varepsilon \pgcd(a,b) A=\pgcd(a,b) A$.
On a sait que dans tout anneau intègre, pour tout $u,v \in A$, $u A = vA$ si et seulement si $u$ et $v$ sont associés c'est-à-dire si il existe $\varepsilon \in A^{*}$ tel que $u= \varepsilon v$.
Or $\pgcd(a,b)$ et $ \varepsilon \pgcd(a,b)$ sont associés donc $\varepsilon \pgcd(a,b) A=\pgcd(a,b) A$ et $\varepsilon \pgcd(a,b) $ est un bien un pgcd de $a$ et $b$.
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Oui, mais tu sais démontrer le résultat en gras sans citer un autre résultat ? C'est pas pour t'embêter, c'est pour que tu saches démontrer au moins les choses élémentaires de la théorie. Se salir un peu les mains quoi...
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- Supposons qu'il existe $u \in A^{*}$ tel que $b=au$. Donc $bA \subset aA$. Or on a $a= b u^{-1}$ donc $aA \subset b A$. On a montré que $aA=bA$.
- Réciproquement, supposons $aA=bA$. Donc $a \in bA$, il existe $u \in A$ tel que $a=bu =ub$. De plus, $b \in aA$ donc il existe $v \in A$ tel que $b=av=va$. Si $a=0$ ou $b=0$, alors $a=b=0$ donc $b= a \times 1$. Supposons $a \ne 0$ et $b \ne 0$ alors $a=uva$ soit $a(1-uv)=0$. Comme $A$ est intègre alors $1-uv=0$ soit $uv=1$ donc $u$ et $v$ sont inversibles.
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