Anneau quotient, inversibles
Bonjour
Après avoir fait de nombreux exercices corrigés du livre d'arithmétique, je souhaite m'exercer sur une liste d'exercices non corrigés de l'université de Nice sur les groupes quotients. Le niveau ne m'a pas l'air trop élevé.
Je voudrais savoir si ma résolution est correcte, un gros doute pour $k=0$.
1) On utilise le théorème de Bezout. On a : $\bar{x} \in (\Z / n \Z)^{*} \Leftrightarrow \exists \bar{u} \in \Z / n \Z, \ \ \bar{x} \bar{u} = \bar{1} \Leftrightarrow \exists u \in \Z ,\ \exists k \in \Z, \ \ xu -1 = kn \Leftrightarrow x \wedge n =1$
2) On a $\{ \bar{a} \mid pgcd( a,9)=1 \} $ est l'ensemble des nombres entre $0$ et $8$ premiers avec $9$. On a $1,2,4,5,7,8$.
Finalement $\boxed{ (\Z / 9 \Z)^{*} = \{ \bar{1} , \bar{2} , \bar{4} , \bar{5} , \bar{7} , \bar{8} \} }$
3) Soit $k \in \N$. On cherche $\{ \bar{a} \mid pgcd( a,p^k)=1 \} $.
Je connais l'indicatrice d'Euler, je sais que $\varphi(p)=p-1$ etc... Mais ici il faut distinguer différents cas selon la valeur de $k$ non ?
Après avoir fait de nombreux exercices corrigés du livre d'arithmétique, je souhaite m'exercer sur une liste d'exercices non corrigés de l'université de Nice sur les groupes quotients. Le niveau ne m'a pas l'air trop élevé.
Je voudrais savoir si ma résolution est correcte, un gros doute pour $k=0$.
1) On utilise le théorème de Bezout. On a : $\bar{x} \in (\Z / n \Z)^{*} \Leftrightarrow \exists \bar{u} \in \Z / n \Z, \ \ \bar{x} \bar{u} = \bar{1} \Leftrightarrow \exists u \in \Z ,\ \exists k \in \Z, \ \ xu -1 = kn \Leftrightarrow x \wedge n =1$
2) On a $\{ \bar{a} \mid pgcd( a,9)=1 \} $ est l'ensemble des nombres entre $0$ et $8$ premiers avec $9$. On a $1,2,4,5,7,8$.
Finalement $\boxed{ (\Z / 9 \Z)^{*} = \{ \bar{1} , \bar{2} , \bar{4} , \bar{5} , \bar{7} , \bar{8} \} }$
3) Soit $k \in \N$. On cherche $\{ \bar{a} \mid pgcd( a,p^k)=1 \} $.
Je connais l'indicatrice d'Euler, je sais que $\varphi(p)=p-1$ etc... Mais ici il faut distinguer différents cas selon la valeur de $k$ non ?
- Si $k=1$ alors $\varphi(p)=p-1$ donc il y a $p-1$ inversibles dans $\Z / p \Z$.
- Si $k=0$ on a $\Z / \Z = \Z$. Les éléments inversibles de $\Z$ sont $-1$ et $1$. Il y a donc 2 inversibles.
- Si $k \geq 2$ on a $\varphi(p^k)=p^k - p^{k-1}$ car les multiples de $p$ compris entre $1$ et $p^k$ sont $p, 2p, \dots, p^{k-1} p$ il y a en a $p^{k-1}$. Il y a donc $p^k - p^{k-1}$ inversibles.
Réponses
-
ok
Par contre pour k = 0 que vaut Z/Z ? -
On a $x$ en relation avec $y$ si $x-y \in \Z$.
Donc $x$ et $y$ sont dans la même classe si et seulement si $x-y \in \Z$. Or $x-y$ est toujours dans $\Z$ il n'y a donc qu'une seule classe.
$cl (x) =\{ y \in \Z \mid x -y \in \Z \}= x - \Z = \Z$.
Donc $\Z / \Z = \{ \Z \}$.
-
Non mais du coup c'est quoi comme anneau.
-
Bonjour,
Donc $\mathbb{Z}/\mathbb{Z} = \{42\}$.
Cordialement,
Rescassol
-
non mais c'est pas possible... Dans $Z/n\Z$, $0=n\Z$... Donc dans $\Z/\Z$, $0=???$
-
Bonjour
@OShine
En relisant cela : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2330912/element-unite-anneau-quotient
tu auras sans doute une réponse pour $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$.
Jean-éric -
Merci !
On a $\Z / \Z = \{ \bar{0} \}$.
Donc il n'y a aucun inversible. -
Bonsoir,$\Z / \Z = \{ \bar{0} \}$ est équivalent à $\Z / \Z = \{ \Z \}$Dans les deux cas on a un anneau à un seul élément dont l'élément unique est inversible.
-
Bonjour,
$\forall x \in \mathbb{Z}, x-42 \in \mathbb{Z}$
Cordialement,
Rescassol
-
Tu as traité k=1
puis k=0
puis k>1
C'est pas propre.
Forcément, tu as relu avant de cliquer sur 'Envoyer', et tu n'as même pas pensé à mettre les trucs dans l'ordre.
k=0
puis k=1
puis k>1
Et tu aurais peut-être vu que ton résultat trouvé pour $k>1$, $p^k-p^{k-1}$ quand on remplace $k$ par $1$, ça donne $p-1$, et donc la formule obtenue pour $k>1$ marche aussi pour $k=1$
Et ça t'aurait peut-être alerté : tiens, j'ai la même formule pour $k=1$ et $k>1$, mais pas pour $k=0$. Bizarre.
Et tu aurais peut-être vérifié ce que tu as écrit pour k=0.
Bilan : c'est presque bon. Mais ça reste une copie médiocre, pas finie.
Même si il n'y avait pas l'erreur pour k=0, le fait de mettre les 3 cas dans le désordre, le fait de présenter 2 formules différentes, pour k=1 et pour k>1, alors que c'est la même formule, c'est du travail d'un type qui ne maîtrise pas ce qu'il fait.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour,
On note $\overline{a}$ quand on débute, et $a$ seulement, après.
Pour moi $42$, suivant le contexte, ça peut être $\overline{42}$.
Donc, mon $\mathbb{Z}/\mathbb{Z} = \{42\}$ signifiait $\mathbb{Z}/\mathbb{Z} = \{\overline{42}\}$.
Cordialement,
Rescassol
-
Désolé d'avoir voulu aider. Je ne savais pas qu'il fallait écrire des choses désordonnées, pour faire comme sur le cours.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
-
Donc tu n'as toujours pas compris que les éléments de $\Z/n\Z$ étaient des classes d'équivalence et donc des ensembles ?
-
Il l’a bien compris si j’en crois son avant dernière intervention. Par contre, je suis d’accord avec @Rescassol, on s’en fiche de la barre au dessus de 42.
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@Riemann_lapins_cretins si car j'ai précisé "dans $\Z / \Z$. Sinon tu as raison j'ai été imprécis.
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Le cas $\Z/\Z$ est tellement dégénéré qu'il ne présente pas vraiment d'intérêt.
Mais j'ai quand même des questions.
OShine a dit : dans $\Z/\Z$, $0=1$ donc il est inversible.
Je dirais : dans $\Z/\Z$, $1=0$ donc il n'est pas inversible.
Pour moi, dans un anneau $A$, on définit l'addition, avec son élément neutre.
Puis on définit dans $A^{\star}$ une multiplication avec son élément neutre. Et par cohérence, 0 se retrouve être élément absorbant pour cette multiplication.
Sauf qu'ici, $A^{\star}$ est vide.
L'élément neutre de la multiplication n'est même pas défini.
La notion d'élément inversible n'est pas définie dans un anneau nul (un anneau réduit à l'élément $0$)
Tout ça est juste une question de conventions. Quelle convention est majoritaire ?Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour,
Il faudrait voir avec les spécialistes du forum, mais la définition que je connais de l’inverse de $x$ dans un anneau, c’est qu’il existe $y$ tel que $x\times y=y\times x=1$. Et pour l’anneau trivial, c’est bien le cas, puisque justement $1=0$. Il n’y a pas de condition de non nullité dans la définition d’un inversible. C’est simplement que ce n’est pas possible dans un anneau non trivial(finalement, la seule différence avec le corps à un élément est que cet élément n’est pas nul, contrairement à l’anneau trivial). -
Je précise « hypothétique » corps à un élément :-).
-
Bonjour,Je confirme que ce n'est absolument pas une question de convention, mais juste une application de la définition : dans l'anneau nul, $0$ est l'élément neutre de la multiplication et il est donc inversible (son inverse est lui-même).
-
Merci GBZM.
-
Ok,
Je prends.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
@GaBuZoMeu Donc on dit que $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ est un corps à un élément? Je croyais que ce n'était pas possible et qu'il fallait que le neutre pour la multiplication soit différent du neutre de l'addition pour que ce soit un corps (donc qu'il y ait au moins deux éléments distincts)?
-
NicoLeProf : les définitions d'un corps (que j'ai lues) imposent, dans chaque cas, que l'anneau sous-jacent soit non nul (i.e. que $0\ne1$). Ce point n'a rien à voir avec le fait confirmé par GaBuZoMeu et qui concerne l'anneau nul., lequel n'est donc pas un corps, par définition.
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
@NicoLeProf : plus précisément, dans la catégorie des anneaux, $\Z$ est un objet initial en ce sens qu'il n'existe qu'un seul morphisme d'anneaux de $\Z$ dans un anneau donné $A$. Lequel ? Ce n'est cependant pas un objet de la catégorie des corps, comme nous pouvons le constater aisément.De même, $0$ est un objet terminal de la catégorie des anneaux en ce sens qu'il n'existe qu'un seul morphisme d'anneaux d'un anneau donné $B$ dans $0$. Lequel ? En revanche, l'anneau nul n'est pas un objet de la catégorie des corps.La catégorie des corps serait-elle dépourvue d'objet initial et d'objet final ? Tu n'es pas obligé de répondre.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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"Donc on dit que $\Z/\Z$ est un corps à un élément ?"Je n'ai bien sûr jamais écrit cela. Les axiomes de corps comprennent bien l'axiome $0=1\vdash \bot$, autrement dit $0\neq 1$.
-
D'accord, je crois avoir compris ton premier message @Thierry Poma merci !Par contre, le deuxième message dépasse complètement mes connaissances, désolé hahaha ! ^^'
-
Bonjour @Thierry Poma
j'essaye de répondre à tes questions,
le seul morphisme d'anneau de $\Z$ dans $A$ est le morphisme $f$ tel que $f(0)=0_A$ et $f(1)=1_A$le seul morphisme d'anneau de $B$ dans $0$ est le morphisme tel que $\forall b \in B,\ f(b)=0$.Un objet initial pour la catégorie des corps : $\Z/2\Z$, je n'ai pas d'idée pour l'objet final (si il en existe ?) pour l'instantEst-ce que c'est juste ? Je ne connais pas la théorie des catégories, comment les réponses à ces questions "justifient" que pour la définition d'un corps on doit avoir $0 \neq 1$ ?
-
Si on fixe la caractéristique, il y a bien un objet initial dans la catégorie des corps de caractéristique $p$ donnée : $\mathbb F_p$ (aussi pour la caractéristique $0$ : $\mathbb Q$). Mais il n'y en a pas si on ne fixe pas la caractéristique.Aucun objet final, même si on fixe la caractéristique ; remarquer que tout morphisme de corps est injectif.
-
Merci pour ta réponse.
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