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Écart angulaire

Bonsoir tout le monde.
Je souhaiterais expliquer la notion d'écart angulaire à une ado dans le secondaire, seulement, la seule définition de ce niveau que je connaisse est sans doute peu adaptée et j'ai bien peur qu'elle me sorte des yeux écarquillés.
Définition:
La mesure de l'arc de cercle intersection d'un cercle $\mathbf{C}(A,r)$ avec un secteur angulaire saillant fermé de côtés $[A,X)$ et $[A,Y)$ [...] est appelée écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{XAY}$ et noté $E(\widehat{XAY})$.

Alors c'est bien beau et bien propre mais bon. Comment rendre ça plus digeste afin d'avoir une bien belle définition pour une ado d'aujourd'hui qu'elle puisse relire et comprendre seule au besoin ?

Merci !

Réponses

  • DomDom
    Modifié (21 Aug)
    Je ne savais pas que « écart angulaire » avait une telle définition. Une rapide recherche montre que ce n’est pas toujours la même chose qu’on nomme « écart angulaire ». 
    C’est « juste » la longueur du morceau de cercle (le plus court) intercepté par l’angle.


    Point de vue élémentaire : 
    - on colorie l’angle saillant en bleu
    - on mesure la longueur de l’arc bleu 
    Je dis « élémentaire » mais la moindre des choses est de fourni une figure il me semble. D’où est extrait cette définition ? D’un manuel ?

    Ce qui est étrange, c’est que la notation pour « écart angulaire » ne prend pas en compte le rayon. 
    Et justement, selon le rayon, ça peut être très grand ou très petit !

    Ça peut se comprendre comme une « distance » lorsque l’on suit un cercle (dont le rayon est imposé). 
    C’est dans ce sens que je comprends le terme « écart ».
    Difficile de proposer une définition plus « simple ». 

    Une remarque : la mesure de l’angle, en radian, correspond à cet écart quand le rayon vaut 1. 
    Ainsi, quand le rayon vaut R, il suffit de multiplier la mesure de l’angle par R pour obtenir l’écart angulaire.
    Mais peut-être est-ce justement pour introduire la mesure des angles [édit : en radian] en disant que « mesure = écart angulaire quand le rayon est 1 ». 
    Ça sent la classe de seconde (?). 

  • dpdp
    Modifié (21 Aug)
    Eh bien, justement, la définition (tirée du manuel de Troisième, Série Rouge, collection Queysanne-Revuz, p241, j'aurais dû mettre un lien directement, mais ayant physiquement le manuel et le connaissant suffisamment bien je n'y ai pas pensé ; je m'excuse pour cet oubli) complète précise bien (ajout en gras):
    Définition:
    La mesure de l'arc de cercle intersection d'un cercle $\mathbf{C}(A,r)$ avec un secteur angulaire saillant fermé de côtés $[A,X)$ et $[A,Y)$ ne dépend ni du rayon $r$ du cercle ni du représentant choisi pour l'angle géométrique $\widehat{XAY}$. Cette mesure est appelée écart angulaire de l'angle géométrique $\widehat{XAY}$ et noté $E(\widehat{XAY})$.
    Sinon oui, ça sent bien la classe de seconde !
  • bonjour,
    j'ai le Queysanne-Revuz 3è sous les yeux, ouvert à la page 292 : c'est ça. :) 1972 tout de même ! Quelques années auparavant, Dieudonné avait développé ce qu'il considérait comme la seule voie pour définir correctement les "angles" via les rotations dès la classe de seconde, dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire. Ce qu'il y proposait me semble bien plus facile que ce que développaient Biancamaria et Dehame pour Nathan, non ?
  • Je t'avoue que, honte sur moi, je n'ai jamais lu ce livre de Dieudonné et je ne pourrais te dire si c'est ou non plus facile. Peux-tu nous en partager un extrait ? :)
  • Merci pour ces éclaircissements. 
    J’avoue, du coup, ne pas comprendre pourquoi ça ne dépend pas de ce rayon $r$.
    Peut-être faut-il se reporter à « mesure d’un arc de cercle » ? J’ai interprété « longueur d’une arc de cercle » et c’est certainement une erreur.

  • La justification se trouve dans le manuel à la page 240 si jamais cela t'intéresse.
  • Modifié (22 Aug)
    Bonjour.
    Pourquoi rajouter un nom à ce qui n'est que la mesure de l'angle géométrique ? On ne le fait pas pour un angle de demi-droites (de vecteurs), ni un angle de droite. On peut vouloir définir (*), mais ici, c'est la "mesure au rapporteur" du début du collège, inutile de rajouter un nom qui n'apporte rien.
    Cordialement.
    (*) Je pense n'avoir eu aucune définition de mesure avant les angles de demi-droite en première, ce qui n'empêchait pas de faire beaucoup de géométrie, d'utilisations d'angles géométriques (cas d'égalité des triangles, cas de similitude), bien plus que ce qu'on fait maintenant, plus de la moitié du temps.
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