Le corps $\Bbb{F}_p$ et les congruences...
Bonjour.
C'est l'exercice 8.4.
Je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas dire que x est d'ordre 8 dans $F_p$ donc $p$ est un multiple de $8$.
Pour la suite j'ai relu le cours sur les groupes cycliques mais je ne trouve pas pourquoi il existe un élément $x$ dans $F_p ^{*}$ d'ordre $8$.
Je sais que si un groupe G cyclique est d'ordre n alors il existe un élément d'ordre n.
Mais je n'arrive pas à adapter ici avec le multiple.
C'est l'exercice 8.4.
Je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas dire que x est d'ordre 8 dans $F_p$ donc $p$ est un multiple de $8$.
Pour la suite j'ai relu le cours sur les groupes cycliques mais je ne trouve pas pourquoi il existe un élément $x$ dans $F_p ^{*}$ d'ordre $8$.
Je sais que si un groupe G cyclique est d'ordre n alors il existe un élément d'ordre n.
Mais je n'arrive pas à adapter ici avec le multiple.
Réponses
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Tu n'as toujours pas intégré que la loi de groupe utilisée ici est multiplicative et non addtive...Et tu connais beaucoup de nombres premiers multiples de $8$ ??Pour la deuxième question, tu as toi-même posé une copie d'un théorème sur les sous-groupes d'un groupe cyclique.
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Ok merci. $F_p$ n'est pas un groupe multiplicatif.
Pour la suite les multiples de $8$ non nuls sont $8,16,24$ etc...
D'après le théorème sur les sous-groupes d'un groupe cyclique il existe un élément d'ordre $8$ car $8$ divise tous les multiples non nuls de $8$. -
Sois un peu de bonne foi et comprends qu'on puisse écrire $\mathbb{F}_{p}$ abusivement pour désigner son groupe multiplicatif, et que le contexte est là pour dire quel groupe on envisage.
Là tu es sur un cours qui ne parle presque exclusivement que du groupe multiplicatif de ces corps, tu pardonneras le/la/les auteurs de ne pas avoir mis la sainte étoile. -
Je viens de supprimer un certain nombre de messages non mathématiques portant sur OShine et son comportement.Il est préférable de répondre mathématique ou donner directement la solution.AD
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BonjourSi $x$ est d'ordre $n$ dans un groupe noté multiplicativement et si $d$ divise $n$, quel est l'ordre de $x^d$ ?
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L'ordre vaut $d$.
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Perdu !
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Bonjour, je m'incruste ici car ça m'intéresse (enfin les maths évoquées dans ce fil uniquement).Si je comprends bien, la question posée par @GaBuZoMeu permet de mettre en évidence que $x^d$ est d'ordre $\dfrac{n}{d}$ si $x$ est d'ordre $n$ (avec $d$ un diviseur de $n$), en raisonnant par l'absurde par exemple.Puis, si je comprends bien, cela permet de prouver ensuite que dans un groupe cyclique $(G,*)$ de cardinal $n$, il existe au moins un élément d'ordre $d$ pour tout $d$ diviseur de $n$ ?
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@NicoLeProf : c'était vraiment trop dur de laisser à 0'Shine une chance de corriger lui-même son erreur ?
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Ah désolé, vos messages sont apparus après ma réponse (la discussion n'était pas actualisée)
J'espère que je suis dans le vrai en tout cas ! ^^ -
Tu as eu parfaitement raison de répondre NicoLeProf si la question t'intéresse, au moins tu as l'air motivé. Ça évite le dialogue de sourd habituel entre OShine et ses interlocuteurs, et cela nous dispensera également des fils pousse-mémères interminables.
Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement. -
@GaBuZoMeu
Soit $x$ d'ordre $n$. Soit $d$ un diviseur de $n$.
Posons $C_n= <x>$. Il contient alors $n$ éléments et il est cyclique.
Alors on peut écrire $n=d d'$.
Comme $x$ est générateur de $C_n$, l'ordre de $x^d$ vaut $\dfrac{n}{ pgcd(n,d) }$
Mais $d \mid n$ donc $pgcd(n,d)=d$. Finalement $\boxed{o(x^d)=\dfrac{n}{d} =d'}$ -
Plus directement : $(x^d)^k=x^{dk}$, donc $(x^d)^k=1$ si et seulement si $n$ divise $dk$, c.-à-d. si et seulement si $n/d$ divise $k$. L'ordre de $x^d$ est donc $n/d$.
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Sa réponse est en fait assez directe en terme d'efforts puisqu'il a recopié son bouquin au lieu de réfléchir comme d'habitude. Mais que ceux qui pensent/veulent l'aider continuent, hein. Il y a eu assez de discussions pour prévenir les non avertis dernièrement. En particulier, sa première réponse (ordre $d$), c'est une réponse à la twitter (rapide, non justifiée et fausse).
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En effet je dois apprendre à faire ce genre de raisonnement simple.GaBuZoMeu a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2376445/#Comment_2376445[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
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Le $F$ à gauche du $p$ est la première lettre du mot field, qui veut dire corps en Français. $\mathbb{F}_p$ est "le" corps qui a $p$ éléments avec $p$ premier.
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Oui et le groupe des inversibles a p-1 éléments on utilise souvent ce groupe dans les exercices.
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Bonjour!
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