Bonjour,

Ce qui serait saugrenu, c'est de commencer à suivre le codage de von Neumann pour les entiers et de changer en cours de route.

Je ne comprends pas bien ton problème.

C'est un axiome de ZFC : $\exists A$, $\forall x : x \notin A$. Ce truc définit l'ensemble qu'on note $\varnothing$, il est défini par le fait de ne contenir rien. 

Je ne vois pas d'erreur dans ce que tu as fait, mais je te dirai quand même que c'est surtout inutile de revenir à la définition. Pourquoi définit-on les couples ? Pour avoir un système de coordonnées dans un produit cartésien. Pourquoi pose-t-on $0 = \varnothing$, $1 = 0 \cup \{0\}$ etc ? Pour avoir une représentation dans ZFC des entiers naturels (merci, Patrick Dehornoy !). Ton couple $(1,1)$ a une seule vocation : servir de coordonnées dans, pour commencer, le produit cartésien $\N^2$. Son écriture "brute" comme un ensemble en extension ne nous apporte franchement rien ici.

Un ordinateur ne réfléchit jamais, je ne pense pas qu'il ait une notion de "deux" ou "trois". C'est un circuit électrique, il ne s'y passe que deux choses : absence ou présence d'un courant (d'où le $0$ et le $1$). Le reste, c'est nous qui l'avons décidé : un ordinateur, peu importe combien de sur-couches de software il y a entre le circuit électrique et l'utilisateur humain, ce n'est QUE un circuit électrique que nous avons intelligemment conçu pour faire ce dont nous avions besoin. Les instructions machine sont des circuits électriques "déterminés par construction", l'ordinateur ne peut faire que ce que la physique lui permet. Il le fait très vite, c'est tout. Mais il ne réfléchit pas au résultat qu'il donne, le résultat n'est que la réaction du circuit à l'impulsion électrique qu'on lui a donné. Un peu comme un cerveau, en fait (food for thought).

En 2022, si le fait de passer dans un autre système de "numération" que le binaire était efficace, je pense qu'on le saurait et que ça aurait déjà été fait. Voici pourquoi je pense que ça ne s'est pas fait : comme dit, un ordinateur, ce n'est QUE un circuit électrique. Nous avons appris comment faire des circuits électriques dont le comportement se laisse interpréter (par nous) comme les opérateurs de base de notre logique à nous (et, ou, non, implique...). Dans le calcul des propositions, donc, notre langage logique, nous adoptons comme principe qu'une proposition admet toujours une valeur de vérité et une seule parmi les deux "vrai", "faux". Notre système de raisonnement entier est basé sur ça : nos opérateurs logiques n'ont que deux possibilités sur chaque entrée, et deux possibilités de réponse en sortie. S'il fallait prendre en compte des valeurs de vérités non-binaires (ternaires ou carrément probabilistes, comme dans le quantique), il faudrait une architecture complètement différente du circuit électrique qui "code" physiquement notre logique : des circuits logiques complètement différents, des instructions à 3 cas possibles partout... La puissance du système de logique binaire, d'un point de vue ordinateur, c'est qu'il faut très peu de circuits et très peu d'instructions pour le faire marcher, c'est très économe !