Questions sur les $\limsup$ et $\liminf$ d'une suite d'ensembles

Réponses

• JLapin

  August 2022 Modifié (August 2022)

  Ca a l'air correct.
  Voici un petit problème si tu veux consolider ta pratique sur le sujet.
  http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2003/dl/dl_01_parties_convergentes.pdf
  
• Positif

  August 2022 Modifié (August 2022)

  Je pose $\displaystyle \quad T = \liminf A_n = \bigcup_{n  > 0} \bigcap_{m \geq n  } A_m, \quad U  = \limsup A_n = \bigcap_{n  > 0} \bigcup_{m \geq n  } A_m .$
  

  Parlons en termes d’événements (probabilistes).

  Si $x \in T$, cela signifie que $x$ est dans un des $\bigcap_{n \geq m} A_m $ :  ainsi  tous les événements $A_m$ sont réalisés, excepté un nombre fini.
  

  Si $x \in U$, cela signifie que peu importe  ton rang $n$, tu peux te placer encore plus loin et pourtant un des événement $A_m, m > n $ sera réalisé : on ne trouvera aucun rang au delà duquel $A_m$ ne se réalise pas. 

  ---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
• Lucas

  August 2022 Modifié (August 2022)

  Pour ta question 1), voici un exercice élémentaire pour comprendre cette notion. Prend $X=\mathbb{R}$ et pour les deux exemples suivants, calcule la limite inf et la limite sup.

  1-1) $A_n= [(-1)^n; 3+(-1)^n]$

  1-2) $A_n=[1/n,a_n]$, où $a_n=n$ si $n$ est pair et $a_n=1$ si $n$ est impair.
  
• LeSingeSavant

  August 2022 Modifié (August 2022)

  Merci @JLapin pour les exos!

  @Positif Si j'ai bien compris, l'assertion suivante devrait être vrai :
  

  $\liminf A_n  =\lim_{n \to \infty} ( \bigcap_{m \geq n  } A_m) $ (formule que je trouve plus intuitive)
  

  De même, peut-on dire que $ \limsup A_n = \lim_{n \to \infty} ( \bigcup_{m \geq n  } A_m) $ ?
  

  Merci @Lucas pour l'exemple, on aurait donc ?
  

  1-1) $ \liminf A_n = [1, 2] $ et $ \limsup A_n = [-1, 4] $
  

  1-2) $ \liminf A_n  =\lim_{n \to \infty} ( \bigcap_{m \geq n  } A_m) = \lim_{n \to \infty} [1/n, 1] = ]0, 1]$ et $ \limsup A_n = ]0, +\infty[ $
  
• JLapin

  August 2022

  Comment définis-tu la limite d'une suite d'ensemble sous réserve d'existence ?
  
• LeSingeSavant

  August 2022 Modifié (August 2022)

  @JLapin

  $ \forall n \in \N$
  

  1. Si $A_n \subseteq A_{n+1} $ la limite signifie la réunion.
  2. Si $A_{n+1} \subseteq A_n $ ,la limite signifie l'intersection.

  Pour une suite d'ensembles quelconque, je ne sais pas vraiment ! (Je suis arrivé direct en L3 de maths, je n'ai jamais étudié la théorie des ensembles)
  
• Positif

  August 2022 Modifié (August 2022)

  Yep comme avec les $\lim \inf $ ou les $\lim \sup $ de suites en fait. $\lim \inf u_n = \lim\limits_{n \rightarrow +\infty } \sup \{ u_n, u_{n+1}, \ldots \} $.

  ---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
• LeSingeSavant

  August 2022

  C'est beaucoup plus clair, merci à tous pour votre aide !