Démonstration de l'infinité des nombres premiers jumeaux
Bonjour à toutes et tous.
Je pense apporter ici une preuve de l'infinité du nombre de couples de nombres premiers jumeaux ainsi que l'infinité de tous les couples de nombres premiers de Gap 2*n, n entier positif, le Gap étant défini comme la différence entre deux nombres premiers consécutifs.
Il est facile de calculer ce que j'appelle la constante de chaque premier de Gap 2, 4, 6, 8 ...2*n.
On défini la constante par la somme des inverses du plus petit des 2 premiers du couple de Gap 2*n.
La somme de toutes les constantes est égale à la somme des inverses des nombres premiers et est donc infinie.
Chaque constante est inférieure à 1, très proche de 1 pour les jumeaux et décroit quand le Gap croît.
Comme la somme des constantes est infinie et que chaque constante est inférieure à 1 les gaps sont tous en nombre infini.
Bon 15 août
Je pense apporter ici une preuve de l'infinité du nombre de couples de nombres premiers jumeaux ainsi que l'infinité de tous les couples de nombres premiers de Gap 2*n, n entier positif, le Gap étant défini comme la différence entre deux nombres premiers consécutifs.
Il est facile de calculer ce que j'appelle la constante de chaque premier de Gap 2, 4, 6, 8 ...2*n.
On défini la constante par la somme des inverses du plus petit des 2 premiers du couple de Gap 2*n.
La somme de toutes les constantes est égale à la somme des inverses des nombres premiers et est donc infinie.
Chaque constante est inférieure à 1, très proche de 1 pour les jumeaux et décroit quand le Gap croît.
Comme la somme des constantes est infinie et que chaque constante est inférieure à 1 les gaps sont tous en nombre infini.
Bon 15 août
PlP
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Réponses
La constante de Brun n'est pas la constante de PlP car elle additionne les inverses des deux jumeaux, ma constante ne prend en compte que le plus petit des deux.
La somme des inverses de chaque plus petit premier de Gap 2*n est convergente et toujours inférieure à 1 et la somme de toutes ces sommes est infinie, il faut donc que le nombre de Gaps soit infini.
C'est quoi Gap 4 en fait ?
Et ça veut dire quoi "le nombre de Gaps est infini" ?
Un écart se traduit en anglais par "gap". Par exemple, l'écart entre $13$ et $23$ est $10$. En français, on parle d'écart, il me semble. Les écarts entre nombres premiers consécutifs ont fait et font toujours, je crois, l'objet d'intenses recherches. Si je comprends le tableau, il y aurait environ $7/8$ millions de couples de jumeaux précédant $120$ millions[ce qui donne effectivement $6,436\%$ des entiers précédant $120$ millions], à peu près autant de couple de cousins (couple $(p,p+4)$ tels que $p$ est un nombre premier et $p+4$ est aussi un nombre premier). Ceci correspond à une conjecture connue. Il y aurait environ deux fois plus de sexys (couple $(p,p+6)$ tels que $p$ est un nombres premiers et $p+6$ est aussi un nombre premier). Ceci correspond aussi à une conjecture connue. Par contre, au moins les nombres de $(p,p+10)$ et $(p,p+30)$ sont surprenants. Si l'on se réfère à des conjectures également connues depuis des décennies, on devrait obtenir des rapports respectivement proches de $\frac43$ et de $\frac83$. Je n'ai pour ma part jamais rencontré des rapports aussi éloignés de ces valeurs.
Cordialement.
Aller, pour t'aider voici un résultat connu depuis presque un siècle : $\limsup \frac{g_n}{\ln(p_n)} = \infty$
D'ailleurs, je n'ai rien compris à ta "preuve" qui se base sur des observations...