Dual de $L^p$
Bonjour
J'ai besoin d'aide pour une question probablement "banale"... Voici l'énoncé.
J'ai besoin d'aide pour une question probablement "banale"... Voici l'énoncé.
Déterminer tout les $\alpha$ tel que $g:u\in L^3(]0,1[)\rightarrow\int_0^1 u(x)x^\alpha dx$ soit un élément de $L^3(]0,1[)^*$.
Je sais déja que $L^3(]0,1[)^* := L^{3/2}(]0,1[)$, mais que faire ensuite ?
Merci d'avance !
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Réponses
J'ai néanmoins trouver quelque chose qui ne m'a pas l'air dégeu. Voici mon raisonnement :
$L^3(]0,1[)=\{f:L^3(]0,1[)\rightarrow R | \text{f est linéaire et continue}\}$
Je vérifie donc les valeurs de $\alpha$ afin que la fonction g soit linéaire et continue :
1. g est linéaire que l'intégrale l'est
2. g est continue si $\parallel g(u)\parallel_R \leq K\parallel u\parallel_{L^3(]0,1[)}$ avec $K\geq 0$, or $\parallel g(u)\parallel_R\leq\int_0^1|u(x)x^\alpha| dx\leq(\int_0^1|u(x)|^3dx)^{1/3}(\int_0^1|x|^{3\alpha/2}dx)^{2/3}=\parallel u\parallel_{L^3(]0,1[)}(\int_0^1|x|^{3\alpha/2}dx)^{2/3}$.
Il ne reste donc plus qu'à vérifier pour quelles valeurs de $\alpha$, $(\int_0^1|x|^{3\alpha/2}dx)^{2/3}\geq 0$. On trouve $\alpha> -2/3$.
Qu'est-ce que tu en penses ? Pourrais-tu me détailler plus ton idée ?
Merci !
Le théorème de Riesz m'indique qu'il existe un unique $v\in L^3(]0,1[)$ tq $g(u)=(u,|v)$. Effectivement dans notre cas, $v(x)=x^\alpha$. Jusque la je te suis. J'aurais tendance à dire que l'étape suivante est de trouver les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $v\in L^3(]0,1[)$. Càd, $\int_0^1 x^{3\alpha} dx<\infty$. J'en déduis que $\alpha\neq -1/3$. Ce qui n'est pas le même résultat... J'imagine que mon erreur se trouve dans le fait que je n'utilise pas $L^{3/2}\sim(L^3)^*$
Je pense que tu as un théorème général sur le dual de $L^p$ qui ressemble au théorème de Riesz et que c'est celui-ci auquel pensait Bibix.
$\int_0^1 x^{3\alpha}dx <\infty\iff\frac{1}{3\alpha+1}<\infty$
Je peux prendre $\alpha=-1$ ?
Cordialement,
Rescassol
Il faut bien que $x^{\alpha}$ soit dans $L^{3/2}$ et pas dans $L^{3}$, comme tu as écrit dans ton "théorème de Riesz" (qui je pense est une copie maladroite du cas $L^2$ : il faut ajuster pour $L^3$ avec l'exposant conjugué, c'est ce que dit le théorème sur le dual de $L^p$).
Le raisonnement avec Hölder t'a déjà permis de montrer que c'était une condition suffisante.
Le théorème sur le dual de $L^p$ te dit que c'est bien l'ensemble de ces $\alpha$ qui est solution.
C'est étonnant qu'il ne soit pas plus développé que ça.