Démonstration de l'infinité des nombres premiers jumeaux
Bonjour à toutes et tous.
Je pense apporter ici une preuve de l'infinité du nombre de couples de nombres premiers jumeaux ainsi que l'infinité de tous les couples de nombres premiers de Gap 2*n, n entier positif, le Gap étant défini comme la différence entre deux nombres premiers consécutifs.
Il est facile de calculer ce que j'appelle la constante de chaque premier de Gap 2, 4, 6, 8 ...2*n.
On défini la constante par la somme des inverses du plus petit des 2 premiers du couple de Gap 2*n.
La somme de toutes les constantes est égale à la somme des inverses des nombres premiers et est donc infinie.
Chaque constante est inférieure à 1, très proche de 1 pour les jumeaux et décroit quand le Gap croît.
Comme la somme des constantes est infinie et que chaque constante est inférieure à 1 les gaps sont tous en nombre infini.
Bon 15 août
Je pense apporter ici une preuve de l'infinité du nombre de couples de nombres premiers jumeaux ainsi que l'infinité de tous les couples de nombres premiers de Gap 2*n, n entier positif, le Gap étant défini comme la différence entre deux nombres premiers consécutifs.
Il est facile de calculer ce que j'appelle la constante de chaque premier de Gap 2, 4, 6, 8 ...2*n.
On défini la constante par la somme des inverses du plus petit des 2 premiers du couple de Gap 2*n.
La somme de toutes les constantes est égale à la somme des inverses des nombres premiers et est donc infinie.
Chaque constante est inférieure à 1, très proche de 1 pour les jumeaux et décroit quand le Gap croît.
Comme la somme des constantes est infinie et que chaque constante est inférieure à 1 les gaps sont tous en nombre infini.
Bon 15 août
PlP
[Contenu du pdf joint. AD]
Réponses
-
Je ne vois pas de telle preuve dans ton message. As-tu entendu parler de la constante de Brun?
-
Oui
La constante de Brun n'est pas la constante de PlP car elle additionne les inverses des deux jumeaux, ma constante ne prend en compte que le plus petit des deux. -
Tu veux considérer la somme des inverses des plus petits nombres premiers dans les couples de nombres jumeaux?Cette somme ou série (on ne sait pas s'il y a un nombre fini ou infini de termes) est finie.
-
Tu as du mal à comprendre.
La somme des inverses de chaque plus petit premier de Gap 2*n est convergente et toujours inférieure à 1 et la somme de toutes ces sommes est infinie, il faut donc que le nombre de Gaps soit infini. -
La preuve Pierre c'est une prescription médicale ?
-
PierrelePetit a dit :La somme des inverses de chaque plus petit premier de Gap 2*n est convergente.Je ne sais même pas si pour tout $n\geq 1$ il existe toujours deux nombres premiers $q>p$ tels que $q-p=2n$.PS:Ce n'est pas, a priori, parce que la différence entre deux nombres premiers impairs est un nombre pair que tous les nombres pairs sont des différences entre deux nombres premiers consécutifs.
-
-
JLapin: Un gap est la différence entre deux nombres premiers consécutifs. $23$ et $29$ sont deux nombres premiers consécutifs leur gap est $6$.Après il s'intéresse au plus petit couple de nombres premiers dont le gap est $2n$ quand $n$ parcours l'ensemble des entiers naturels non-nuls et il affirme que la "série" de leur inverses de l'inverse du plus petit des deux $a_n$ converge. Est-ce que $a_n$ existe pour tout $n$? Et si c'est le cas pourquoi cette série devrait être convergente (ou divergente)?
-
Si on définit $g_n=p_{n+1}-p_n$ avec $p_i$ le $i$-ème nombre premier quand on classe les nombres premiers dans l'ordre croissant, est-ce qu'on a $\lim g_n=\infty$?Est-ce que pour tout entier naturel non-nul $m$ il existe $n$ entier naturel tel que $g_n=2m$?
-
Bonjour,
Un écart se traduit en anglais par "gap". Par exemple, l'écart entre $13$ et $23$ est $10$. En français, on parle d'écart, il me semble. Les écarts entre nombres premiers consécutifs ont fait et font toujours, je crois, l'objet d'intenses recherches. Si je comprends le tableau, il y aurait environ $7/8$ millions de couples de jumeaux précédant $120$ millions[ce qui donne effectivement $6,436\%$ des entiers précédant $120$ millions], à peu près autant de couple de cousins (couple $(p,p+4)$ tels que $p$ est un nombre premier et $p+4$ est aussi un nombre premier). Ceci correspond à une conjecture connue. Il y aurait environ deux fois plus de sexys (couple $(p,p+6)$ tels que $p$ est un nombres premiers et $p+6$ est aussi un nombre premier). Ceci correspond aussi à une conjecture connue. Par contre, au moins les nombres de $(p,p+10)$ et $(p,p+30)$ sont surprenants. Si l'on se réfère à des conjectures également connues depuis des décennies, on devrait obtenir des rapports respectivement proches de $\frac43$ et de $\frac83$. Je n'ai pour ma part jamais rencontré des rapports aussi éloignés de ces valeurs.
Cordialement.
-
Plus i est grand plus p(i+1)-p(i) peut être grand mais peut rester petit et quand p(i) s'approche de l'infini plus le Gap peut s'approcher de l'infini.
-
Donc ta preuve, elle marche peut-être mais tu n'es pas sûr ?
Aller, pour t'aider voici un résultat connu depuis presque un siècle : $\limsup \frac{g_n}{\ln(p_n)} = \infty$
D'ailleurs, je n'ai rien compris à ta "preuve" qui se base sur des observations... -
@PierrelePetit: bonjour. Soit $n$ un entier quelconque. Soit $N=p_1\times\cdots\times p_n+1$. Alors il est facile de se convaincre qu'entre $N+1$ et $N+p_n$, il n'y a aucun nombre premier. Donc si l'on considère le nombre premier $p_{n_0}\leq N$ le plus grand possible, l'écart entre $p_{n_0}$ et $p_{n_0+1}$ est plus grand que $p_n$. Comme $p_n$ peut être choisi aussi grand qu'on le souhaite, l'écart entre deux nombres premiers consécutifs peut donc être rendu aussi grand qu'on le souhaite. Effectivement, comme vous l'affirmez. Par ailleurs, il semblerait également, comme vous l'affirmez que cet écart puisse être rendu relativement "petit", aussi loin qu'on soit dans les entiers. Je crois même que cela a été démontré en 2013. Mais est-ce qu'on rencontrera toujours des écarts de deux, ou même de quatre... À ma connaissance, nul ne le sait. Cordialement.
-
Si on avait un vague doute sur l'intérêt mathématique des précédentes théories de PLP, là, on n'a plus aucun doute : c'est n'importe quoi.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
-
Voyons lourrran, peut-être qu’il te manque des illustrations Des courbes par exemple.
-
Il y a un vrai gap entre son niveau et le vôtre, assumez-le et rangez votre rage.
-
Merci R_l_c si c'est sincère, les incompétents sont toujours ceux qui en rajoute comme airai pu dire un scénariste célèbre.
-
C'est à ça qu'on les reconnaît.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
-
Moi aussi j'aime bien Jean-Pierre Melville.
-
Ça m’évoque une phrase sur la culture et la confiture.Mais comme là c’est plutôt la déconfiture…
-
Quoi qu'il en soit on attend de pouvoir reluquer les jolies courbes (de convergence à 2, 3, 14% près même).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 14
+11 Invités