Minoration et Goldbach

Je ne réponds que sur la majoration de $f(n)$, pour laquelle on peut faire un peu mieux :
$$f(n) \leqslant \log n \sum_{p \leqslant \sqrt n} \frac{1}{\log p} \ll \log n \times \frac{\sqrt n}{(\log n)^2} \ll \frac{\sqrt n}{\log n}.$$

Je ne comprends pas le but de la question initiale. La majoration ci-dessus est a priori triviale alors que la question l'est beaucoup moins car liée à la conjecture de Goldbach et on ne peut visiblement rien déduire de cette majoration. Quelque chose m'échappe ou  bien tu es en train de demander à des "pro" de résoudre cette fameuse conjecture ici ?!!!

Bonjour, 
Je ne suis pas expert, mais je sais démontrer quelque chose de proche (par contre, je ne vois pas comment on pourrait l'utiliser facilement). 
En effet, il me semble qu'on a : 
$\sum_{p^i \leq n, p \leq \sqrt{n}, i \geq 1} 1 = \sum_{p \leq \sqrt{n}} \lfloor \frac{\log n}{\log p}\rfloor = f(n)$
De même, on peut poser : 
$g(n) = \sum_{n \leq p^i \leq 2 n, p \leq \sqrt{2 n}, i \geq 1} 1$
Si $f(n) + g(n) < N_{Gal}(n)$, alors il existe au moins un rayon de Galois $r$ et $(i,j,p,p')$ tel que $p > \sqrt{n}, p' > \sqrt{2 n}$, et $i, j \geq 1$ et $p^i = n - r$, $(p')^j = n + r$. Ce qui implique forcément $i = 1$ et $j = 1$, et donc que $r$ est un rayon de primalité de $n$.
Par ailleurs, on a le même genre de formule pour $g(n)$ à savoir : 
$g(n) = \sum_{p \leq \sqrt{2 n}} (\lfloor \frac{\log(2 n)}{\log p}\rfloor - \lceil \frac{\log n}{\log p} \rceil + 1)$

Par contre, l'implication que tu as proposé me paraît audacieuse. On pourrait très bien avoir $n - r$ premier et $n + r = p^2$ avec $p$ premier...

Sylvain a dit :

Cela dit il est possible que ça suppose que le supremum des parties réelles des zéros non triviaux de zeta soit inférieur à $1-\varepsilon$.

Cela s'appelle la quasi-hypothèse de Riemann, et on en est encore loin !