Carrés dans $\mathbb F_p$
Réponses
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Je n'ai toujours pas compris.
Si on va de p-1 a (p-1)/2 a quoi sert la ligne avec le 2 ? 2 n'est pas compris entre p-1 et (p-1)/2.
En plus je n'arrive pas à démontrer la ligne avec le r.
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Ouh là là. Tu écris que (-1)^(2q'-1)=1 ? Du coup, c'est normal que tu obtiennes quelque chose de faux.
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Même en corrigeant la faute je ne vois pas.
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Ce passage du livre est incompréhensible, très mal rédigé.
A gauche on multiplie entre 2 et p-1 mais le r il sert à quoi ? Il n'y a pas de r dans le produit à gauche.
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Encore une fois, c'est écrit sur la page suivante. On veut calculer le produit de tous les entiers pairs compris entre 0 et p-1 (p > 2) modulo p. Pour se faire on commence par écrire ces entiers modulo p sous la forme donnée dans la capture d'écran.
Tu as complété mon tableau ? Si non fais-le. Si oui, deuxième étape, tu poses p = 5 et tu regardes ce que donnent les égalités que tu ne comprends pas sans tenir compte du r et en t'arrêtant quand tu le jugeras opportun. Ensuite, tu fais la même chose pour p = 7 et si besoin tu recommences pour p = 11, p =13 et etc. -
J'ai fait les exemples. Le r ne sert a rien je ne comprends pas son intérêt.
Mais je bloque toujours sur le cas général.
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OShine a dit :Ce passage du livre est incompréhensible, très mal rédigé.Non, il est très clair.Juste, tu n'es pas équipé pour le comprendre vu que tu refuses le moindre effort intellectuel de raisonnement en plus de tes capacités techniques très limitées (erreur sur des puissances de $-1$...).
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Pour p=5 ok, pour p=7 je n'ai pas très bien compris ce que tu as fais mais bon tu as compris ce qu'il y avait à comprendre. Après, si tu ne vois toujours pas pour le cas général, tu peux essayer avec d'autres valeurs de p. J'ai l'impression que tu veux seulement nous faire dire que l'auteur a mal rédigé au lieu de chercher à comprendre. J'espère me tromper. En tout cas j'espère qu'avec un peu de recul tu finiras par comprendre car là entre le texte et ce que tu as écris tout est dit.
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Le r ne sert à rien. Ou plutôt r comme raccourci : l'auteur n'a pas voulu s'embêter à tout écrire deux fois, la première fois pour le cas pair avec (p-1)/2, la 2ème pour le cas impair avec (p+1)/2, et il se serait passé du r.
Comment aurais-tu fait â sa place ? -
Si il sert car il multiplie a droite il y a du (p-1)/2 factorielle alors qu'à gauche on multiplie entre 2 et p-1.
Je reste bloqué sur ce passage je ne comprends pas pourquoi on parle de (p-1)/2 si on veut multiplier les nombres entiers entre 2 et p-1.
Et prendre des exemples concrets empire l'incompréhension car on ne comprend encore moins à quoi ça sert. -
Ah bon ? Je ne dis plus rien alors.
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O'Shine, tu ne m'as pas bien lue. On peut se passer du r si on n'a pas peur d'alourdir le texte en écrivant tout deux fois, ceci pour ceux qui ont qui ont du mal, comme toi, à la compréhension en une seule fois. Avec cette méthode, il ne sert à rien. Mais si on veut se ramener plus tôt dans la démonstration à un seul cas, on peut alors l'introduire.
Mais tu refuses (ou bien tu es incapable, je ne sais pas) de comprendre l'idée de la démonstration, tu veux seulement aligner des formules.
Je commence à comprendre cette véhémence contre toi dans ce forum. Je n'irai plus t'embêter avec mes explications et me contenterai de rigoler (jaune) cinq minutes en lisant tes fils.
J'abandonne. -
Je prends par exemple $p=19$ et je me demande si $2$ est un carré modulo $19$. On écrit, modulo $19$ :$18=-1$$16=-3$$14=-5$$12=-7$$10=-9$.On a donc $10\times 12\times\cdots\times 18 = - 1\times 3\times\cdots\times 9$.On multiplie par $2\times 4\times 6\times 8$ :$2\times 4\times \cdots 18 = - 1\times 2\times\dots 9$$(2\times 1) \times (2\times 2)\times\dots (2\times 9) = - 1\times 2\times\dots 9$$2^9\times 9 ! =-9!$$2^9=-1$Donc $2$ n'est pas un carré.
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@Julia Paule ce n'est pas contre toi ça arrive que je bloque sur des explications. Ici malgré vos explications je n'ai toujours pas compris.
@JLT en effet ça a l'air très facile vu comme ça.
Mais avec le $r$ de la démonstration je ne comprends pas.
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$r=10$ dans mon exemple.
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Merci j'ai compris.
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Je pense enfin pouvoir répondre à l'exercice donné par @Math Coss."Exercice : démontrer la première loi en utilisant le fait que $\mathbf{F}_p$ est cyclique."Soit $a$ un générateur de $\mathbf{F}_p$.
On a $a^{p-1} = 1\mod p$ et $a^{\frac{p-1}{2}} \neq 1\mod p$ d'où $a^{\frac{p-1}{2}} = -1 \mod p$.
Or, $-1$ est carré modulo $p$ si et seulement si il existe un élément de $\mathbf{F}_p$ qui élevé au carré donne $-1$, c'est-à-dire si et seulement si il existe un entier $n$ tel que $ (a^n)^2= a^{2n} = -a^{\frac{p-1}{2}} \mod p$.
Ainsi $-1$ est carré modulo $p$ si et seulement si il existe $k$ tel que ${2n} = \frac{p-1}{2} + (p-1)k$ donc si et seulement si $\frac{p-1}{2}$ est pair ce qui équivaut à $p - 1 = 0\mod 4$."Application : montrer que $X^4+1$ n'est jamais irréductible sur $\mathbf{F}_p$."
Soit $p$ un nombre premier.
Tout d’abord, notons que si $a$ un carré modulo $p$ et si $b$ est une racine carrée de $a$ alors $-b$ est également une racine carré de $a$1. 0Raisonnons par disjonction de cas.
Si $p = 2$ alors $1$ est racine donc $X-1$ divise $X^4 + 1$.Sinon $p$ est impair.Si $p = 1 \mod 4$ alors $-1$ est un carré dans $\mathbf{F}_p$ qui est commutatif. Soit $a$ une des racine carrée de $-1$. On a alors $X^4 + 1 = X^4 - (-1)= (X^2)^2 - b^2 = (X - b) (X + b) \mod p$.Sinon $p = 3 \mod 4$.Si $p = -1 mod 8$ alors $2$ est un carré dans $\mathbf{F}_p$. Notons $b$ une racine carrée de $2$ on a $(X^2 - bX + 1)(X^2 + bX + 1) = X^4 + (-b^2 + 2)X^2 + 1 =X^4 + 1 \mod p$.Sinon, $p = 3 mod 8$. Dans ce cas, ni $-1$ ni $2$ ne sont des carrés modulo $p$ donc leur produit $-2$ l'est. Notons $b$ une racine carrée de $-2$ on a $(X^2 - bX - 1)(X^2 + bX - 1) = X^4 - (b^2 + 2)X^2 + 1 =X^4 + 1 \mod p$.Ainsi, pour tout nombre premier $p$, $X^4$ n'est pas irréductible modulo $p$. -
Parfait.
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Soit $p$ un nombre premier impair. Voici une autre démonstration que $2$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $p\equiv \pm 1\,[8]$.1) Soit $a$ une racine de $X^4+1$ dans une extension de $\mathbb{F}_p$. Soit $x=a-a^{-1}$. Vérifier que $x^2=-2$.2) Montrer que $-2$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $x^p=x$.3) En déduire que $-2$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $p\equiv 1\,[8]$ ou $p\equiv 3\,[8]$.4) Conclure.
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Ça me rappelle quelque chose, en mieux : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/1514226/#Comment_1514226.
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Pas compris la démonstration de @Lol_a quand on fait un disjonction de cas on reste modulo 4 pourquoi ça passe a du modulo 8 ?
Pour moi c'est pas clair niveau logique.
Dans le cas p congru à 3 modulo 8 tu affirmes que -1 et 2 ne sont pas des carrés sans aucune explication.
Je trouve la preuve incompréhensible.Je vais essayer de résoudre l'exercice de @JLT je ne comprends jamais les solutions des autres sauf les corrigés de concours Doc solus qui sont rédigés de manière parfaite et extrêmement pédagogique. -
Je ne crois pas que tu puisses résoudre mon exercice. Ou alors si tu y arrives (sans indication) je te décerne le diplôme d'honneur de l'agrégation spéciale forum (concours exceptionnel 2022 dont je suis l'unique membre et président du jury).
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Je voulais le faire, histoire de conclure ce fil, mais je vais laisser O'Shine s'en charger, tant pis pour le diplôme.
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Quand on en est là, à se demander pourquoi a congru à 3 mod 4 devient a congru à 3 ou 7 mod 8 par disjonction de cas, il vaut mieux .... (je le garde pour moi).
On prend son stylo : a=3+4k avec k pair ou impair ; si k est pair, alors ? si k est impair, alors ? -
il vaut mieux.....arrêter de faire ce pour quoi on n'a ni appétence, ni facilité et trouver un professionnel à qui parler de sa boulimie pour les corrigés d'exos d'X ou ENS afin de trouver des conseils pour se sortir de cette nasse psychologique.
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Dans le cours de M', je ne trouve pas où ils disent que si a congru à 3 mod 4 alors a congru à 3 ou 7 mod 8
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour
Dans le cours de M', je ne trouve pas où ils disent que $2\times 4=8$.
Cordialement,
Rescassol
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Une disjonction de cas c'est $x \equiv 0 [4]$ , $x \equiv 1 [4]$, $x \equiv 2 [4]$, $x \equiv 3 [4]$.
Dans la preuve, je ne vois pas où est la démonstration de l'irréductibilité du polynôme $X^4+1$ je vois des racines carrées je ne vois pas le rapport. Quand on parle d'irréductibilité, on parle de diviseurs, polynôme associé, polynôme constant, je ne vois pas une seule fois le mot diviseur.
@JLT je n'ai pas réussi une seule question.
1) Soit $a$ une racine de $X^4+1$. Alors $a^4+1=0$.
On a $x^2 = (a-a^{-1})^2 = a^2 - 2 - (a^{-1})^2$.
Je suis bloqué ici. -
Recalé, comme je m'y attendais. Le concours reste ouvert à d'autres candidats éventuels !
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Ah, là, on atteint le collège... identités remarquables...
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Cette première question pourrait presque figurer dans le poly troisième - seconde de LLG d'ailleurs.
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On a $a^2 - (a^{-1})^2 = (a-a^{-1})(a+a^{-1})$
Je ne vois pas le rapport avec $a^4+1=0$.
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Ça ne m'étonne pas que @OShine n'ait pas compris la disjonction de cas étant donné qu'il ne comprenait pas plus haut pourquoi $\frac{p-1}{2}$ pouvait être pair ou impair ni le lien avec la classe de $p \mod 4$. Par ailleurs, pour trouver la solution j'ai raisonné dans un premier temps sur des "exemples concrets" ce qui pour lui "empire l'incompréhension".
Ce que je trouve plus étonnant (et inquiétant) c'est qu'il ait écrit "Dans le cas $p$ congru à 3 modulo 8 tu affirmes que -1 et 2 ne sont pas des carrés sans aucune explication." ce qui montre qu'il n'a pas compris ou a oublié les propriétés qu'il a étudié (ou fait semblant car j'en suis à me demander s'il ne sait pas exactement ce qu'il fait) il y a quelques jours. Autre hypothèse, il n'a pas compris ce que "si et seulement si" signifie et ce serait encore plus alarmant.
@Math Coss, je lirais ça avec intérêt. Pour l'instant j'essaye de chercher l'exercice de @JLT par moi même. Petite question : où vit $x$ (dans $\mathbb{F_p}$ ou dans le corps où on est allé chercher $a$ ? D'ailleurs, est-il possible de déterminer dans quel corps on est allé chercher $a$ ?
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Soit $K$ une extension où se trouve $a$. On a $\mathbb{F}_p\subset K$ (l'inclusion n'est pas nécessairement stricte). A priori $x\in K$, mais il se peut que $x\in \mathbb{F}_p$.P.S. On peut déterminer en fonction du reste de $p$ modulo $8$ si $\mathbb{F}_p= K$ ou non. Dans le cas où l'inclusion est stricte on peut "expliciter" $K$.
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$x\in \mathbb{F}_p$ ssi $x^p=x$ ssi $a^p-a^{-p}=a-a^{-1}$...
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Je note pour $x$. Je me demandais si on pouvait en savoir un peu plus sur $K$. Si j'ai bien compris, pour chaque extension de $\mathbb{F}_p$, il existe un entier naturel $n$ tel que cette extension soit $\mathbb{F}_{p^n}$ et je me demandais si on pouvait déterminer $n$ dans le cas de $K$.
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$n=1$ ou $n=2$ en fonction du reste de $p$ modulo $8$.
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Lol_a a dit :D'ailleurs, est-il possible de déterminer dans quel corps on est allé chercher $a$ ?Ici https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_de_décomposition en toute généralité.Difficile d'être plus précis sans hypothèses supplémentaires sur $p$.Par exemple, si $p=17$, on peut prendre $a=2$.
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D'accord, merci, ça répond à ma question.
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Ok je comprends mieux l'exercice. Merci @gai requin j'étais bloquée et j'avais besoin de la première équivalence, à laquelle j'aurais mis un moment à penser, pour avancer.
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Message à ceux qui cherchent le petit problème de JLT, "Attention je vais divulgâcher !"\[x^{2}=a^{2}+a^{-2}-2=\underbrace{a^{-2}\left(a^{4}+1\right)}_{0}-2=-2\]par conséquent, $-2$ est un carré de $F_{p}^{*}$ si et seulement si $\left(x^{2}\right)^{\frac{p-1}{2}}=1$ donc si et seulement si$x^{p-1}=1$. Et obtient l'équivalence souhaitée en multipliant par $x$ quand il est non nul. Comme $0^{p}=0$ et $0$ est un carré l'équivalence reste vraie pour tout élément de $F_{p}$. De plus, par application du morphisme de Frobenius, $x^{p}=a^{p}-a^{-p}.$ En tenant compte du fait que $a^{8}=1$), plusieurs cas se présentent (puisque $p$ est impair):
- Si $p=1+8m$ alors $x^{p}=a^{1+8m}-a^{-1-8m}=a-a^{-1}=x$ et $-2$ est un carré.
- Si $p=3+8m$ alors $x^{p}=a^{3+8m}-a^{-3-8m}=a^{3}-a^{-3}=-a^{-4}a^{3}+a^{4}a^{-3}=a-a^{-1}=x$ et $-2$ est un carré.
- Si $p=5+8m$ ou $p=7+8m$ on vérifie avec le même type de calculs que $x^{p}=-x\ne x$ (vu que $x$ non nul) et $-2$ n'est pas un carré de $F_{p}$.
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C'est correct mais on peut aller plus vite sur la question 2.Soit $K$ une extension de corps dans laquelle se trouve $a$. On considère le polynôme $P(X)=X^p-X$. On sait d'après le petit théorème de Fermat que les éléments de $\mathbb{F}_p$ sont des racines de $P$, et comme $P$ a au plus $p$ racines, $\mathbb{F}_p$ est exactement l'ensemble des racines de $P$. Autrement dit, $x^p=x$ si et seulement si $x\in\mathbb{F}_p$.
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Je suis d'accord, je me replaçais dans le contexte des connaissances de ce fil où cette équivalence apparaissait.
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Et la dernière question, $2$ est un carré ssi $-1$ et $-2$ sont tous les deux des carrés ou des non-carrés.
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$x^p=x$ si et seulement si $x \in \mathbb F_p$ est dans le cours sur $\mathbb F_p$. C'est le théorème de Fermat.
La question $2$ je n'avais réussi qu'une seule implication.
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